Аналогично, если бы удалось сделать из цилиндра тор, соединив его концы вместе – также без растяжений и деформаций, – то внутренняя кривизна полученного тора все равно осталась бы равной внутренней кривизне цилиндра, то есть нулю. На практике, однако, сделать так называемый плоский тор– по крайней мере в двух измерениях – невозможно по причинам, которые будут обсуждаться далее (в четвертой главе). Но теоретически подобный объект (называемый абстрактной поверхностью) изготовить можно, и он столь же важен для математики, как и те объекты, которые мы называем реальными.
Рис. 2.4.Тороидальная (имеющая форму бублика) поверхность может быть совершенно «плоской» (имеющей нулевую гауссову кривизну), поскольку ее можно изготовить, сворачивая лист бумаги в трубку или цилиндр и затем соединяя концы полученного цилиндра
С другой стороны, сфера довольно существенно отличается от цилиндра или плоского тора. Рассмотрим, к примеру, кривизну сферы радиуса r. В этом случае кривизна одинакова по всей поверхности сферы, и ее можно определить как 1/ r 2. Мы видим, что на поверхности сферы все направления эквивалентны, что явно неверно в случае цилиндра или бублика. Именно по этой причине не важно, как ориентирована сфера в трехмерном пространстве; маленький жучок, живущий на ее поверхности, скорее всего, не замечает пространственной ориентации сферы и все, что его беспокоит и дается ему в ощущениях, – это геометрия его локального двухмерного мира.
Наряду с Николаем Лобачевским и Яношем Бойяи Гаусс внес большой вклад в наше понимание абстрактного пространства, в частности для двухмерного случая, хотя он сам признавал наличие определенной путаницы в этой области. И все же, в конечном итоге, ни Гаусс, ни его коллеги не сумели полностью освободить наши представления о пространстве от евклидовых рамок. Гаусс выразил свое замешательство в письме, написанном им в 1817 году астроному Генриху Вильгельму Маттеусу Ольберсу: «Я все больше убеждаюсь, что необходимость нашей геометрии не может быть доказана, по крайней мере, человеческим рассудком и для человеческого рассудка. Может быть, в следующей жизни мы придем к взглядам на природу пространства, которые нам сейчас недоступны».[18]
Некоторые ответы были получены не в «следующей жизни», как написал Гаусс, а в следующем поколении благодаря усилиям и прекрасным способностям его студента Георга Фридриха Бернхарда Римана. Риман отличался слабым здоровьем и умер молодым, но за сорок лет своей жизни он смог перевернуть существовавшие представления о геометрии, а вместе с ними и представления о Вселенной. Риман ввел особую разновидность поля – набор чисел, соответствующий каждой точке пространства, пользуясь которым можно найти расстояние между двумя точками вдоль любой линии, которая их соединяет. Полученная информация, в свою очередь, может быть использована для определения степени искривленности пространства.
Проще всего мерить пространство в одном измерении. Все, что необходимо для измерения, например, прямой линии, – это линейка. Для двухмерного пространства, такого как пол большого танцевального зала, мы обычно берем две перпендикулярные линейки – одна из которых сопоставляется оси x, а вторая – оси y– и находим расстояние между двумя точками путем построения прямоугольного треугольника и применения теоремы Пифагора. В свою очередь, в трех измерениях нам необходимы три перпендикулярные линейки, соответствующие осям x, yи z.
В искривленных, неевклидовых пространствах все становится сложнее и интереснее, поскольку точно откалиброванные перпендикулярные линейки для измерения искривленного пространства уже не пригодны. Однако в этом случае для расчета расстояний мы можем использовать риманову геометрию. Подход, который мы применяем для расчета длины кривой, лежащей на искривленном многообразии, вам уже знаком: кривую представляют в виде ломаной, состоящей из касательных бесконечно малой длины, и затем берут интеграл вдоль всей линии, чтобы получить полную длину.
Сложность этого подхода обусловлена тем, что в искривленном пространстве длина каждого отрезка ломаной может изменяться при перемещении от одной точки многообразия к другой. Для того чтобы преодолеть эту трудность, Риман создал инструмент, известный как метрический тензор, дающий алгоритм для расчета длины отрезка касательной в каждой точке. В двух измерениях метрический тензор представляет собой матрицу 2Ч2, в nизмерениях – матрицу n Ч n. Следует отметить, что этот новый подход к измерению, несмотря на всю важность нововведений Римана, по‑прежнему основан на теореме Пифагора, только переформулированной для неевклидового пространства.
Пространство, наделенное римановой метрикой, носит название риманова многообразия. Вооружившись метрикой, мы можем измерить длину любой кривой, принадлежащей многообразию произвольной размерности. Впрочем, мы не ограничены возможностью измерения длин кривых – таким же способом мы можем измерять и площади поверхностей в подобных пространствах, причем понятие «поверхность» в этом случае не ограничено привычными нам двумя измерениями.
Изобретя понятие метрики, Риман показал, что пространству, имевшему до этого весьма неясное определение, можно строго приписать определенную геометрию, кривизну же лучше представлять не в виде расплывчатого понятия, а в виде точных чисел, соответствующих различным точкам пространства. И этот подход, как показал Риман, применим к пространствам любой размерности.
До Римана искривленный объект мог быть изучен только «снаружи», подобно тому, как издалека проводят геодезическую съемку горного хребта или смотрят на Землю с борта космического корабля. Вблизи же все кажется плоским. Риман указал способ установить, что мы живем в искривленном пространстве, даже не имея под рукой ничего, с чем его можно сравнить.[19] Это открытие поставило перед физиками и астрономами важнейший вопрос: если Риман прав и пространство, в котором мы живем, действительно искривлено, не означает ли это необходимости нового пересмотра наших представлений практически обо всем? Но значит ли это, что в больших масштабах Вселенная не ограничена рамками евклидовой геометрии, а пространство способно сдвигаться, искривляться и вообще – делать что угодно? Именно по этой причине астрономы и космологи проводят в настоящее время тщательные измерения в надежде установить, искривлено наше пространство или нет. Благодаря Риману теперь известно, что для проведения этих измерений совсем не нужно покидать нашу Вселенную (что было бы весьма затруднительно сделать). Напротив, узнать, искривлена ли наша Вселенная, можно, буквально не сходя с того места, на котором сидим, – что весьма комфортно как для космологов, так и для обывателей.