К началу 1970‑х годов уже успело пройти не одно десятилетие с того момента, как Эудженио Калаби обнаружил свою «гору» – впрочем, мы по‑прежнему нуждались в подтверждении того, что эта гора действительно была горой, а не, скажем, земляным холмиком. Я, например, вовсе не собирался безоговорочно верить тем неожиданным утверждениям, которые он представил перед нами. Причин для скептицизма, как я уже говорил, было немало. Прежде всего, многие сомневались в возможности существования компактных неограниченных многообразий с нетривиальной риччи‑плоской метрикой (отличных от неинтересных нам плоских торов). В то время не было известно ни одного примера подобного многообразия, тогда как этот парень, Калаби, утверждал, что число многообразий данного типа огромно (или даже бесконечно).
Кроме того, Калаби, по словам Роберта Грина, в своей гипотезе воспользовался общим топологическим условием, чтобы получить частный геометрический вывод, который при этом должен быть верен для всего пространства. Для реальных многообразий, у которых отсутствует сложная структура, это неверно, однако для комплексных многообразий, к которым относится гипотеза, это в принципе возможно.[46] Говоря более конкретно, с точки зрения Грина, гипотеза Калаби утверждает, что начиная со случая одного комплексного измерения (и двух вещественных), исходя из общей топологии и формы, где средняя кривизна равна нулю, можно найти метрику или геометрию, где кривизна везде равна нулю. Для случая высоких размерностей гипотеза Калаби конкретно указывает на кривизну Риччи (которая совпадает с гауссовой кривизной для двух вещественных измерений, но отличается от нее, если размерность выше двух), а условие равенства нулю средней кривизны Риччи заменяется условием обращения в нуль первого класса Черна. Калаби утверждал, что если топологическое условие обращения в нуль первого класса Черна выполняется, то должна существовать кэлерова метрика с нулевой кривизной Риччи. Таким образом, весьма широкое и размытое утверждение заменялось гораздо более узким и строгим – и именно поэтому Грин и большинство других математиков сочли это довольно неожиданным.
Я тоже с большим подозрением отнесся к данному утверждению, исходя из ряда формальных причин. Принято было считать, что никто никогда не сможет записать точное решение гипотезы Калаби за исключением разве что нескольких частных случаев. Если это предположение было правильным – что и было впоследствии доказано, – то ситуация становилась безнадежной, и тогда утверждение Калаби можно охарактеризовать как «слишком хорошее, чтобы быть правдой».
Можно провести следующую аналогию с теорией чисел. Хотя существует множество чисел, записать которые на бумаге не составляет ни малейшего труда, существует гораздо более обширный класс чисел, которые мы никогда не сможем записать в явном виде. Эти числа, называемые трансцендентными, включают в свое множество, например, e(2,718…) и р (3,1415…), запись которых даже с триллионом знаков после запятой все равно не будет полной. С технической точки зрения это происходит потому, что такие числа нельзя получить путем алгебраических преобразований и они не являются корнями полинома с рациональными коэффициентами. Ввести их можно только при помощи определенных правил, это означает, что мы можем дать сколь угодно точное и обширное их описание, но никогда – дословное.
Похожая ситуация возникает и с нелинейными уравнениями типа тех, что относятся к гипотезе Калаби. Решением нелинейного уравнения является функция. При этом едва ли стоит ожидать, что найденное решение будет иметь простой и явный вид, например, что его можно будет выразить при помощи точной формулы, поскольку в большинстве случаев таких формул просто не существует. Единственное, что остается, – это пытаться аппроксимировать решение хорошо известными нам функциями: полиномиальными, тригонометрическими (такими, как синус, косинус и тангенс) и некоторыми другими. Если же попытка аппроксимации решения уравнения известными нам функциями оказалась неудачной, у нас начинаются проблемы.
Держа в голове все вышесказанное, я попытался в свободное от работы время найти контрпримеры к гипотезе Калаби. Были волнующие мгновения: мне казалось, что я наконец нашел направление атаки, позволяющее опровергнуть эту гипотезу, – однако позже я обнаруживал изъяны в моей, вроде бы безупречной, конструкции. Это происходило неоднократно. В 1973 году на меня снизошло озарение. На этот раз я чувствовал, что действительно напал на верный путь. Подход, который я избрал – доказательство от противного, – был аналогичен тому подходу, который мы с Ричардом Шоном использовали для доказательства гипотезы о положительности массы. И на этот раз я мог поручиться за безупречность своего доказательства.
Так совпало, что эта идея пришла мне в голову во время международной конференции по геометрии, которая проходила в Стэнфорде в 1973 году, на которой Герох затронул вопрос о гипотезе положительности массы. Принято считать, что конференции – это отличный способ оставаться в курсе событий, как в своей, так и в смежных и даже очень далеких областях исследований, и эта конференция не была исключением. Она стала для меня прекрасным местом для обмена идеями с коллегами, которых я не имел возможности видеть ежедневно. Впрочем, не так уж часто бывают конференции, на которых ты решаешься изменить направление своей деятельности. Причем дважды.
Общаясь со своими коллегами на протяжении конференции, я случайно упомянул, что нашел возможный способ раз и навсегда опровергнуть Калаби. После непродолжительных уговоров я согласился посвятить один из вечеров неофициальному обсуждению своей идеи, хотя уже запланировал несколько официальных докладов. На мое выступление собрались порядка двадцати человек – и атмосфера была весьма накалена. Когда же я закончил изложение своих идей, все, казалось, согласились с моей аргументацией. Калаби также присутствовал и не высказал совершенно никаких возражений. Мне вынесли личную благодарность, объявив, что своим докладом я внес большой вклад в программу конференции, и впоследствии я весьма гордился этим.
Спустя несколько месяцев Калаби связался со мной, попросив прислать ему мое опровержение его гипотезы, поскольку он «ломал голову» над некоторыми деталями моих рассуждениях. Это побудило меня засесть за более строгое доказательство. Получив письмо Калаби, я почувствовал необходимость повторить весь ход своих рассуждений еще раз. Я работал очень усердно, на протяжении двух недель практически не оставляя времени даже на сон, чем почти довел себя до состояния нервного истощения. Всякий раз, когда мне казалось, что доказательство уже почти у меня в руках, в последнюю секунду все рассыпалось буквально у меня на глазах, причем самым обидным образом. После двухнедельного мучения я решил, что с моими рассуждениями что‑то не так. Единственным выходом было сдаться и попробовать начать работу в противоположном направлении. Иными словами, я пришел к выводу о том, что гипотеза Калаби должна быть истинной. Это поставило меня в весьма любопытное положение: после изнурительных попыток доказать ошибочность утверждения Калаби мне теперь предстояло доказывать его истинность. А если гипотеза верна, то все, что из нее следует, все, что слишком хорошо, чтобы быть правдой, – действительно должно быть правдой.
Доказательство гипотезы Калаби подразумевало доказательство существования риччи‑плоской метрики, а это означало решение уравнений в частных производных. Не просто любых дифференциальных уравнений в частных производных, а очень нелинейных уравнений определенного типа: комплексные уравнений Монжа‑Ампера.
Уравнения Монжа‑Ампера получили свое название в честь французского математика Гаспара Монжа, который начал изучать уравнения такого рода во времена Французской революции, и французского физика и математика Андре‑Мари Ампера, продолжившего работу над ними несколько десятилетий спустя. Работать с этими уравнениями далеко не просто.
В качестве простейшего примера из повседневной жизни, поясняющего идеи Калаби, рассмотрим плоский пластичный лист с фиксированным периметром. Предположим теперь, что этот лист либо растягивается, либо сжимается. Вопрос в следующем: как в процессе сжатия или растяжения изменяется форма листа? Растяжение средней части листа приводит к возникновению на нем выпуклости с положительной кривизной, и соответствующее решение уравнения Монжа‑Ампера будет принадлежать к эллиптическомутипу. И наоборот, если внутренняя часть листа сжимается, то поверхность приобретает форму седла с отрицательной кривизной во всех своих точках, – решение будет гиперболическим. Наконец, если кривизна окажется равной нулю во всех точках, то можно ожидать решения параболическоготипа. Всем трем случаям будет соответствовать одно и то же уравнение Монжа‑Ампера, но, как указал Калаби, «решать его необходимо совершенно разными методами».[47]