Теперь будем уменьшать t, так чтобы рано или поздно его значение достигло нуля и в результате мы получили исходное уравнение. Выбирая все меньшие и меньшие значения t, будем записывать для каждого из них соответствующие решения уравнения. В результате возникнет последовательность точек, в которых решение уравнения существует, и каждой из этих точек соответствует собственное значение x, которое я буду называть x i . Смысл этого упражнения заключается в том, чтобы доказать, что последовательность x i сходится к определенному значению. Для этого нужно показать, что x i ограниченно и не может возрастать до бесконечности, потому что для любой ограниченной последовательности по крайней мере некоторые ее части должны сходиться. Показав сходимость x i , мы тем самым покажем возможность уменьшения величины tдо 0без столкновения с какими‑либо непреодолимыми препятствиями. И если мы сможем это сделать, мы тем самым решим уравнение, показав, что случай с t = 0также имеет решение. Иными словами, мы покажем, что решение исходного уравнения x 2 ‑ х=0должно существовать.
Именно такие рассуждения я использовал при доказательстве гипотезы Калаби. Ключевым моментом доказательства стала необходимость показать, что x i представляют собой сходящуюся последовательность. Конечно, уравнение, лежащее в основе гипотезы Калаби, было намного сложнее, чем x 2 ‑ х=0. В этом уравнении в роли xвыступало не число, а функция, что безмерно увеличивало сложность, поскольку сходимость последовательности функций доказать, как правило, весьма и весьма непросто.
Итак, мы снова разбиваем большую проблему на более мелкие фрагменты. Уравнение, входящее в гипотезу Калаби, является эллиптическим уравнением второго порядка, и для решения подобных уравнений необходимо сделать оценки нулевого, первого, второго и третьего порядков. Сделав эти оценки и доказав, что они сходятся к желаемому решению, можно считать гипотезу доказанной. Это легче сказать, чем сделать, поскольку нахождение этих четырех оценок представляет собой отнюдь не простую задачу. Думаю, именно за способность делать такие вещи нас и ценят.
Впрочем этим наша с Ченгом подготовка к наступлению на уравнения Монжа‑Ампера не ограничилась. Мы начали работу над так называемой проблемой Дирихле, названной в честь немецкого математика Лежёна Дирихле. Эта проблема относилась к категории краевых задач, решение которых, как правило, представляет собой первый этап решения эллиптических дифференциальных уравнений. Примером краевой задачи может служить проблема Плато, затронутая в третьей главе, которую обычно поясняют на примере мыльных пленок и которая утверждает, что для произвольного замкнутого контура всегда можно найти минимальную поверхность, ограниченную этим контуром. Каждая точка такой поверхности в действительности является решением определенного дифференциального уравнения. Иными словами, вопрос сводится к следующему: если известно граничное решение такого уравнения, то можно ли найти поверхность в целом и таким образом полностью решить уравнение? Несмотря на то что гипотеза Калаби не является краевой задачей, мы с Ченгом нуждались в проверке методов, которые могли впоследствии пригодиться нам в работе над комплексными уравнениями Монжа‑Ампера типа того, что фигурирует в гипотезе Калаби. Для этого мы занялись решением задачи Дирихле в определенных областях комплексных евклидовых пространств.
Решить задачу Дирихле можно при помощи уже упомянутых ранее шагов, оценивая значения производных нулевого, первого, второго и третьего порядка для точек, лежащих на границе. Но мы должны сделать такие же оценки и для внутренних точек поверхности, поскольку рассматриваемый «мыльный пузырь» может иметь разрывы, сингулярности и другие отклонения от гладкости. Таким образом, общее число оценок равно восьми.
Рис. 5.3.Математик Луис Ниренберг
К началу 1974 года Калаби и Ниренберг, также работавшие над задачей Дирихле, одновременно с нами получили оценку второго порядка. Нахождение оценки нулевого порядка оказалось весьма простой задачей. Ну а оценку первого порядка можно вывести из оценок нулевого и второго порядков. Итак, оставалась только оценка третьего порядка, нахождение которой и открывало путь к решению задачи Дирихле.
Математический аппарат, необходимый для решения этой задачи, возник еще в конце 1950‑х. Я еще учился в средней школе, когда Калаби нашел решение главной геометрической задачи, оказавшейся впоследствии решающей в вопросе нахождения оценок третьего порядка для внутренних точек поверхности в случае вещественных уравнений Монжа‑Ампера. Сделать вклад в эту область Калаби во многом помогло стечение обстоятельств. В то время он работал над проблемой из области аффинной геометрии (аффинная геометрия представляет собой обобщение евклидовой геометрии, в подробности которого я, будучи весьма далек от этой области, не особо хочу вдаваться), тогда как Ниренберг и Чарльз Левнер из Стэнфордского университета занимались задачей Дирихле для уравнения Монжа‑Ампера, но не с гладкой, а с так называемой сингулярной границей, подобной гребню волны. Увидев то уравнение, над которым работали Ниренберг и Левнер, Калаби понял, что оно непосредственно связано с тематикой его работ по аффинной геометрии. Калаби и Ниренберг догадались, как применить результаты Калаби, полученные им в 1950‑х годах, к проблеме оценки третьего порядка для внутренних точек поверхности, с которой мы столкнулись в 1970‑х. «Многие математические открытия происходят благодаря удачному стечению обстоятельств, такому как это, – заметил Калаби. – Порой стоит попробовать соединить кажущиеся несовместимыми идеи и затем посмотреть, где можно применить то, что получилось в результате».[52]
Позже, в 1974 году, Калаби и Ниренберг объявили, что им удалось найти решение краевой задачи для комплексных уравнений Монжа‑Ампера. Впрочем, оказалось, что они допустили ошибку, и оценка третьего порядка для точек, находящихся на границе, по‑прежнему отсутствовала.
Вскоре мы с Ченгом представили и свою версию оценки третьего порядка на границе. Это произошло во время обеда, на который Ч. Ш. Черн пригласил нас, чтобы мы составили компанию ему с Ниренбергом. Ниренберг в то время уже был большой шишкой, тогда как мы только окончили университет, поэтому всю ночь перед предполагавшимся обедом мы посвятили проверке нашего доказательства и, к нашему ужасу, обнаружили в нем ошибки. На их исправление и переписывание доказательства нам потребовалась целая ночь. Следующим вечером мы показали наше доказательство Ниренбергу. Он остался им доволен, мы также остались им довольны, так что теперь можно было спокойно наслаждаться обедом. Но уже после обеда мы с Ченгом заново просмотрели доказательство и нашли в нем новые ошибки. Только через шесть месяцев после этого, в самом конце 1974 года, мы закончили работу над краевой задачей. Нам удалось решить ее путем исследования уравнения, близкого к тому, над которым работали Левнер и Ниренберг, только для более высоких размерностей. Метод, который мы использовали, позволял не принимать во внимание оценку третьего порядка, делая ее необязательной.
Закончив эту работу, я был готов приступить к комплексному варианту гипотезы Калаби – задаче, которая, в отличие от задачи Дирихле, сформулированной для комплексного евклидова пространства, относилась к случаю комплексного многообразия. Мое стремление как можно быстрее приступить к ее доказательству было столь сильным, что к публикации статьи, посвященной задаче Дирихле, мы смогли вернуться только через пять лет – в 1979 году.