Когда задача Дирихле осталась позади, большая часть оставшейся работы представляла собой обобщение или, иными словами, перевод оценок, сделанных для вещественных уравнений Монжа‑Ампера, в оценки для комплексных уравнений. Этот путь мне пришлось преодолевать уже в одиночку, поскольку дороги Ченга лежали немного в другом направлении.
Когда‑то, в 1974 году, Калаби и Ниренберг совместно с Дж. Дж. Коном из Принстона уже начинали работу над комплексной разновидностью задачи Дирихле в евклидовом пространстве. Они добились определенных успехов в исследовании оценок третьего порядка, так что мне оставалось применить их результаты к случаю искривленного пространства. В том же году у меня возникли некоторые идеи по поводу нахождения оценок второго порядка для гипотезы Калаби, при этом я опирался на собственную работу 1972 года, посвященную так называемой лемме Шварца. Эта лемма, или мини‑теорема, появилась еще в XIX столетии и не имела ничего общего с геометрией, до тех пор пока в первой половине XX столетия она не была переосмыслена профессором Гарвардского университета Ларсом Альфорсом. Теорема Альфорса относилась только к римановым поверхностям, имеющим по определению одно комплексное измерение, но мне удалось обобщить ее для случая любой комплексной размерности.
Приготовления к поиску оценки второго порядка для гипотезы Калаби я закончил летом 1975 года. Год спустя я узнал, что французский математик Тьерри Обен нашел подход к данной оценке независимо от меня. Сделав оценку второго порядка, я также показал ее зависимость от оценки нулевого порядка и продемонстрировал возможность перехода от нулевого порядка ко второму. После окончания работы над этой оценкой оставался только один нерешенный вопрос, от которого теперь зависела судьба всего доказательства, – нахождение оценки нулевого порядка. Из оценки нулевого порядка я уже мог получить оценку как второго, так и первого порядка – в качестве бесплатного приложения к уже найденным, поскольку из оценок нулевого и второго порядков оценка первого порядка следует автоматически. Это было чистой воды везение. Фигурально выражаясь, так легли карты и, в целом, легли они весьма неплохо. Оценка третьего порядка также оказалась зависящей от оценок нулевого и второго порядков – то есть все свелось к нахождению оценки нулевого порядка. Знание этой оценки должно было расставить все остальное на свои места, но без нее все прочее было бы бессмысленно.
Свою работу я заканчивал в Курантовском институте Нью‑Йорка, находясь на должности приглашенного сотрудника – эту должность мне помог занять Ниренберг. Вскоре моя невеста Ю‑Юн, работавшая до этого в Принстоне, получила предложение работы в Лос‑Анджелесе. Не желая разлучаться с ней, я занял другую приглашенную должность в Калифорнийском университете. В 1976 году мы вместе проехали всю страну с востока на запад, собираясь заключить брак сразу же по прибытии в Калифорнию. И действительно, прибыв в Калифорнию, мы тут же обвенчались. Эта поездка запомнилась нам надолго: мы были влюблены друг в друга, природа вокруг поражала своей красотой и большую часть пути мы строили планы на будущую совместную жизнь. Но все же я должен признаться, что даже тогда было нечто, что не давало мне покоя: в моей голове по‑прежнему крепко сидела гипотеза Калаби и, в частности, оценка нулевого порядка, которая никак мне не поддавалась. Целый год я бился над ее поисками. В сентябре 1976 года, сразу после нашей свадьбы, мои усилия, наконец, увенчались успехом, и остальные части доказательства тут же встали на свои места. Как оказалось, семейная жизнь была именно тем, чего мне недоставало.
Задача нахождения оценки нулевого порядка аналогична нахождению оценок других порядков: на некое уравнение или функцию необходимо наложить ограничения – как сверху, так и снизу. Иными словами, функцию нужно поместить в воображаемый ящик и показать, что функция «влезет» в него, даже если размеры ящика не будут бесконечно велики. Если это возможно сделать, то функцию можно считать ограниченной сверху. С другой стороны, нужно показать, что функция не настолько мала, чтобы каким‑либо образом «просочиться» за пределы ящика, таким образом ограничив ее снизу.
Один из возможных подходов к задаче такого типа состоит в том, чтобы взять абсолютное значение – модульфункции, которое говорит о ее величине в целом вне зависимости от того, положительное или отрицательное значение она принимает. Для того чтобы проверить функцию u, нужно показать, что ее абсолютное значение в любой точке пространства будет меньше постоянной величины c(или равно ей). Поскольку значение cточно определено, необходимо просто показать, что функция uне может произвольно принимать очень большие или очень малые значения. Иными словами, утверждение, которое мы хотим доказать, является простым неравенством, утверждающим, что модуль функции uдолжен быть меньше или равен c: |u|≤c. Ихотя оно выглядит не особо сложным, в том случае, когда uявляется комплексным объектом, доказательство требует достаточно много усилий.
Я не буду подробно останавливаться на деталях доказательства, отмечу только, что оно основывалось на оценке второго порядка для уравнения Монжа‑Ампера, которую я уже сделал ранее. Мне также пригодилось известное неравенство Пуанкаре, а также неравенство, полученное российским математиком Сергеем Соболевым. Оба они содержали возведенные в определенную степень интегралы и производные различных порядков от абсолютного значения u. Последнее, а именно нахождение различных степеней интегралов и производных от u, имело решающее значение для проведения оценок, поскольку, только показав, что интегралы и производные от uв степени pдаже при очень больших pвсе равно остаются ограниченными, можно считать работу выполненной. После этого функцию можно было считать стабильной. В конце концов, с помощью этих неравенств и различных теорем, а также ряда лемм, сформулированных мной по ходу доказательства, я смог это сделать. Когда, наконец, оценка нулевого порядка была получена, работу можно было считать завершенной.
Впрочем, говорят, что нельзя судить о пудинге до тех пор, пока его не попробуешь, – даже если что‑то имеет привлекательный вид, окончательный вывод можно сделать только после тщательной проверки. Я не мог слепо полагаться на удачу. Однажды я уже поставил себя в неловкое положение, публично заявив на стэнфордской конференции 1973 года, будто знаю, как опровергнуть гипотезу Калаби. Тогда мое предполагаемое опровержение провалилось, и если бы теперь точно так же провалилось и мое подтверждение гипотезы Калаби, моя репутация как математика оказалась бы под большим вопросом. Я точно знал, что на данном этапе своей карьеры – мне тогда еще не исполнилось тридцати – я не могу позволить себе ошибиться вновь, по крайней мере, в столь важном деле.
Поэтому я проверял и перепроверял свое доказательство, рассмотрев его четыре раза с четырех совершенно разных позиций. Я проверял его столько раз, что поклялся, что если я окажусь неправ, то брошу математику. Но все мои попытки найти огрехи в доказательстве оказались тщетными. Насколько я мог судить, в нем все было идеально. Поскольку в те времена еще не существовало Интернета, где я мог бы просто опубликовать черновик своей статьи и попросить прокомментировать его, я избрал старомодный путь – выслал копию моего доказательства Калаби и отправился в Филадельфию для дальнейшей дискуссии с ним самим и другими геометрами с математического факультета Пенсильванского университета, в том числе и с Джерри Кадзаном.
Калаби счел мое доказательство безупречным, но мы договорились встретиться с Ниренбергом и проработать его вместе шаг за шагом. Так как найти время, когда мы все трое были бы свободны, было весьма непросто, наша встреча пришлась на Рождество 1976 года – единственный день, в который никто из нас не имел неотложных дел. На этой встрече нам так и не удалось найти в доказательстве ни одной ошибки – впрочем, чтобы окончательно удостовериться в правильности доказательства, требовалось намного больше времени. «На первый взгляд оно выглядит весьма правдоподобно, – вспоминал Калаби. – Но чрезвычайная сложность этого доказательства требует еще порядка месяца для более детальной проверки».[53]