По окончании срока, отпущенного на рецензирование, Калаби и Ниренберг выразили свое полное согласие с моим доказательством. С этого момента гипотезу Калаби можно было объявить доказанной, и за прошедшие с того времени тридцать с лишним лет никто так и не смог поколебать это утверждение. На сегодняшний день доказательство гипотезы Калаби выдержало столько проверок, проведенных столь значительным числом ученых, что едва ли можно ожидать обнаружения в нем существенных ошибок в дальнейшем.
Итак, что же мне удалось сделать? Доказательством гипотезы Калаби я еще раз укрепил свое убеждение о том, что важнейшие математические проблемы могут быть разрешены путем объединения геометрии с дифференциальными уравнениями в частных производных. Более конкретно, я доказал существование риччи‑плоской метрики для компактных кэлеровых пространств, первый класс Черна для которых обращается в нуль, хотя я и не смог написать точную формулу, определяющую метрику саму по себе. Все, что я мог сказать, – это то, что подобная метрика существовала, но точный ее вид так и остался мне неизвестным.
Хотя это может прозвучать несколько неожиданно, метрика, существование которой я доказал, обладала почти сверхъестественными свойствами. В качестве постскриптума к своему доказательству я показал возможность существования множества фантастических многомерных пространств, известных сейчас как пространства Калаби‑Яу, которые удовлетворяли уравнениям Эйнштейна в случае отсутствия в них материи. Таким образом, я обнаружил не просто решение, а самый многочисленный из известных класс решений уравнений Эйнштейна.
Кроме того, мне удалось показать, что непрерывно изменяя топологию, можно получить бесконечный класс решений основного уравнения, входящего в гипотезу Калаби, в настоящее время известного как уравнение Калаби‑Яу и являющегося частным случаем уравнения Эйнштейна. Решения этого уравнения представляли собой топологические пространства, и сила доказательства состояла в его общности. Иными словами, я доказал существование не только одного примера подобных пространств или частного случая, а целого класса примеров. Более того, я показал, что для определенной топологии – например, для комплексных подмногообразий, находящихся внутри более крупных многообразий, – существует только одно возможное решение.
До появления моего доказательства единственными известными компактными пространствами, удовлетворяющими требованиям уравнений Эйнштейна, были так называемые локально однородные многообразия, в которых любые находящиеся рядом две точки казались неразличимыми. Но те пространства, которые мне удалось обнаружить, были как неоднородны, так и асимметричны, точнее, в них отсутствовала всеохватывающая глобальная симметрия, что, однако, не мешало им иметь менее заметную внутреннюю симметрию, о которой уже шла речь в предыдущей главе. Лично для меня это казалось преодолением огромного препятствия, поскольку выход за пределы глобальной симметрии открывал целый ряд новых возможностей, делая мир вокруг и интереснее и запутаннее.
В первое время я просто наслаждался красотой этих замысловатых пространств и кривизны самой по себе, не задумываясь об их возможных применениях. Но уже вскоре оказалось, что эти пространства имеют множество применений, как в рамках математики, так и за ее пределами. Однажды мы уже сочли гипотезу Калаби «слишком хорошей, чтобы быть истинной». На самом деле она оказалась даже лучше, чем мы думали.
Шестая главаДНК теории струн
При поиске алмазов, если вам повезет, вы также можете найти и другие драгоценные камни. Когда я заявил о своем доказательстве гипотезы Калаби в 1977 году в своей двухстраничной статье, за которой последовало само доказательство на семидесяти трех страницах в 1978‑м, я также объявил о доказательстве еще пяти теорем, относящихся к данной гипотезе. Такая плодотворность во многом стала следствием тех необычных обстоятельств, в которых завязывались мои отношения с гипотезой Калаби, – начав с попыток доказать ее ошибочность, я затем резко сдал назад и стал доказывать ее истинность. К счастью, оказалось, что мои усилия не были потрачены даром – все мои ошибочные шаги, все те безвыходные положения, в которые я попадал, впоследствии были мной использованы. Придуманные мной контрпримеры – следствия, логически вытекающие из гипотезы Калаби, которые, как я полагал, должны были оказаться ложными, – также оказались истинными. Эти неудавшиеся контрпримеры на самом деле были настоящими примерами и вскоре были представлены мной в виде нескольких небезынтересных математических теорем.
Важнейшая из этих теорем вела к доказательству гипотезы Севери (комплексного варианта гипотезы Пуанкаре), задачи, которая оставалась нерешенной на протяжении двух десятилетий. Но прежде чем дойти до этого, я доказал одно важное неравенство, напрямую связанное с вопросом классификации поверхностей на основе их топологии, которым я заинтересовался, отчасти благодаря моему разговору с гарвардским математиком Дэвидом Мамфордом, проезжавшим в то время через Калифорнию. Задача, о которой идет речь, впервые была выдвинута Антониусом ван де Веном из Лейденского университета и относилась к вопросу о неравенстве между классами Черна для кэлеровых многообразий. Ван де Вен доказал, что для любого многообразия второй класс Черна, умноженный на восемь, должен быть больше или равен квадрату первого класса Черна того же многообразия. Притом многие полагали, что этому неравенству можно придать более сильную форму, заменив восьмерку на тройку. Действительно, тройку можно было бы считать оптимальным значением. Вопрос, поставленный Мамфордом, состоял в возможности доказательства этого более сильногоутверждения. Смысл выражения «более сильное утверждение» заключается в том, что, согласно предположению Мамфорда, некая величина, а именно второй класс Черна, будет больше, чем некая другая, не только при умножении на восемь, но и при умножении на меньшее число – три.
Мамфорд поднял этот вопрос во время своей лекции в Калифорнийском университете в Ирвине в сентябре 1976 года; я также присутствовал на ней, как раз незадолго до этого закончив работу над доказательством гипотезы Калаби. Во время доклада Мамфорда мне стало понятно, что я уже сталкивался с этой задачей раньше. Поэтому в процессе дискуссии, возникшей по окончании лекции, я сказал Мамфорду, что смогу доказать этот более сложный случай. Придя домой, я проверил свои расчеты и обнаружил, что, как я и подозревал, этот тип неравенства я пытался использовать в 1973 году для опровержения гипотезы Калаби; теперь же я мог использовать теорему Калаби‑Яу для доказательства этого неравенства. Более того, доказав упомянутое выше утверждение, я теперь мог воспользоваться его частным случаем, а именно случаем равенства (второй класс Черна, умноженный на три, равенквадрату первого класса Черна) для доказательства гипотезы Севери.
Эти две теоремы, открывшие путь к доказательству гипотезы Севери и более общего неравенства, иногда называемого неравенством Богомолова‑Мияока‑Яу (я привожу полное название, чтобы выразить признательность двум другим математикам, внесшим вклад в решение этой задачи), стали первыми побочными результатами доказательства гипотезы Калаби, за которыми последовали многие другие. Гипотеза Калаби, по сути, оказалась намного обширнее, чем я считал до этого. Она применима не только к случаю нулевой кривизны Риччи, но и к случаям постоянной отрицательной и постоянной положительной кривизны. Никто до сих пор не исследовал случай положительной кривизны в наиболее общем виде, для которого гипотеза Калаби заведомо ложна. Я сформулировал новую гипотезу, определяющую условия, при которых метрика с положительной кривизной Риччи может существовать. На протяжении последних двух десятилетий многие математики, в том числе и Дональдсон, внесли значительный вклад в доказательство этой гипотезы, но окончательного доказательства до сих пор нет. При этом мне удалось исследовать случай отрицательной кривизны как часть общего доказательства гипотезы Калаби, независимо от меня этот же результат был получен французским математиком Тьерри Обеном. Решение, найденное для случая отрицательной кривизны, позволило показать существование широкого класса объектов, называемых многообразиями Кэлера‑Эйнштейна, создав тем самым новые области геометрии, оказавшиеся необычайно плодотворными.