Как было установлено Гроссом и Виттеном, для исправленного многообразия Калаби‑Яу последовательный ряд поправок сходится. Они показали, что, если почленно исправлять метрику Калаби‑Яу, в результате возникнет сложнейшее уравнение, которое тем не менее можно решить. При этом все петли бета‑функции устремятся к нулю.
После этого, по словам Шамита Качру из Стэнфорда, «вопрос о том, чтобы полностью отбросить многообразия Калаби‑Яу, уже не стоял; теперь достаточно было только слегка их модифицировать. И, поскольку изначально не существовало возможности записать метрику Калаби‑Яу, необходимость ее небольшого преобразования не стала чем‑то особо удручающим».[87]
Дальнейшее развитие идей о способах преобразования метрики Калаби‑Яу основано на появившейся в том же году работе Денниса Немесчанского и Ашока Сена, в то время работавших в Стэнфорде. Полученное в результате исправления многообразие топологически оставалось многообразием Калаби‑Яу, а его метрика – почти риччи‑плоской, хотя и не совсем. Немесчанский и Сен вывели точную формулу, показывающую степень отклонения модифицированной метрики от риччи‑плоского случая. Их работа, совместно с работой Гросса и Виттена, «помогла сохранить многообразия Калаби‑Яу для физики, поскольку без них пришлось бы прекратить исследования в целой области», – утверждает Сен. Более того, по словам Сена, без первого допущения о том, что многообразия Калаби‑Яу, фигурирующие в теории струн, являются риччи‑плоскими, добраться до окончательного решения было бы невозможно. «Если бы мы начали с метрики, не являющейся риччи‑плоской, сложно даже представить, при помощи каких методик мы получили бы исправленный вариант».[88]
Я полностью согласен с Сеном, хотя и не считаю, что допущение о риччи‑плоской метрике многообразий Калаби‑Яу после этого стало бесполезным. Можно рассматривать многообразие Калаби‑Яу с риччи‑плоской метрикой как решение уравнения x 2 =2. При этом уравнение, которое нужно решить, – это x 2 =2,0000000001, поскольку, как уже было сказано, искомое многообразие является почти, но не точно риччи‑плоским. Для того чтобы получить модифицированную метрику, существует только один способ – начать с решения уравнения x 2 =2и уже от него двигаться в требуемом направлении. При этом в большинстве случаев решение уравнения x 2 =2 служит весьма хорошим приближением. Кроме того, риччи‑плоская метрика, как правило, является простейшей для использования и охватывает подавляющее большинство явлений, интересующих ученых.
Следующие существенные шаги в вопросе восстановления в правах многообразий Калаби‑Яу были сделаны Дороном Гепнером, в то время постдоком в Принстоне, на протяжении нескольких лет, начиная с 1986 года. Гепнер разработал несколько конформных теорий поля, каждая из которых в рамках соответствующих физических понятий обладала потрясающим сходством с описаниями отдельных многообразий Калаби‑Яу определенного размера и формы. Изначально Гепнер обнаружил, что физика, относящаяся к его теории поля, – включая определенные симметрии, поля и частицы, – имеет тот же вид, что и физика струны, движущейся в определенном многообразии Калаби‑Яу. Это привлекло его внимание, поскольку связь между двумя столь, казалось бы, несвязанными вещами, как конформная теория поля и многообразия Калаби‑Яу, казалась поистине сверхъестественной.
Одним из тех, кто проявил чрезвычайный интерес к этой новости, стал Брайан Грин – в то время мой гарвардский постдок, специалист в области математических обоснований многообразий Калаби‑Яу, закончивший докторскую диссертацию по этому предмету и, кроме того, имевший солидную подготовку в области конформной теории поля. Он тут же связался с учеными с физического факультета, также работавшими в области конформных теорий, в том числе с двумя аспирантами – Роненом Плессером и Жаком Дистлером. Дистлер и Грин начали совместное исследование корреляционных функций, связанныхс конформной теорией поля и соответствующим многообразием Калаби‑Яу. Корреляционные функции в этом случае включали в себя так называемые «взаимодействия Юкавы», определяющие взаимодействия частиц между собой, в том числе и такие взаимодействия, которые наделяли частицу массой. В статье, представленной весной 1988 года, Дистлер и Грин объявили, что корреляционные функции – или взаимодействия Юкавы – для конформной теории поля и соответствующих многообразий Калаби‑Яу численно совпадают, что стало еще одним подтверждением их тесной взаимосвязи, если не сказать больше.[89] Гепнер пришел к аналогичному выводу относительно совпадения величин взаимодействий Юкавы в статье, поданной в печать вскоре после этого.[90]
В частности, Дистлер, Грин и независимо от них Гепнер обнаружили, что для многообразий определенного размера и формы можно рассчитать все корреляционные функции, представляющие собой набор математических выражений, которые, будучи сведены воедино, полностью характеризуют конформную теорию поля. Иными словами, результатом стала возможность представить связь между конформной теорией поля и многообразиями Калаби‑Яу в строгих и исчерпывающих понятиях, путем определения как типа конформной теории поля со всеми корреляционными функциями, так и точного размера и формы соответствующего многообразия Калаби‑Яу. Таким образом, ограниченному классу многообразий Калаби‑Яу, известных на сегодняшний день, стало возможным сопоставить соответствующую модель Гепнера.
Эта связь, нашедшая надежное подтверждение в конце 1980‑х годов, помогла опровергнуть мнение относительно бесполезности многообразий Калаби‑Яу. Как сказал Качру, «можно не сомневаться в существовании предложенных им [Гепнером] конформных теорий поля, поскольку они являются полностью разрешимыми, в том числе и в численном виде. И если истинность этих теорий не вызывает сомнений, а их свойства аналогичны свойствам компактификаций Калаби‑Яу, то в достоверности этих компактификаций также можно не сомневаться».[91]
«Статья Гепнера позволила сохранить многообразия Калаби‑Яу, – утверждает Эспинволл, – по крайней мере, для физики и теории струн».[92] Более того, связь между моделью Гепнера и отдельными компактификациями Калаби‑Яу помогла заложить основу для открытия зеркальной симметрии, что стало достаточным для исключения всех сомнений в том, заслуживают ли многообразия Калаби‑Яу дальнейшего исследования.
Некоторые из наиболее ранних идей относительно зеркальной симметрии возникли в 1987 году, когда стэнфордский физик Ланс Диксон совместно с Гепнером установил, что различные K3‑поверхности связаны с одной и той же квантовой теорией поля, что говорило о том, что эти совершенно различные поверхности связаны при помощи симметрии. При этом ни Диксон, ни Гепнер не публиковали статей по этой теме, хотя Диксон сделал несколько докладов, поэтому первой публикацией, посвященной зеркальной симметрии, по‑видимому, стала вышедшая в 1989 году статья Вольфганга Лерке из Калифорнийского технологического института, Кумрана Вафы и Николаса Варнера из Массачусетского технологического института. Они доказали, что если взять два топологически различных трехмерных многообразия Калаби‑Яу, то есть шестимерное многообразие Калаби‑Яу вместо четырехмерной K3‑поверхности, мы получим одну и ту же конформную теорию поля и, следовательно, ту же самую физику.[93] Это утверждение было более сильным, чем утверждение Диксона‑Гепнера, поскольку оно связывало многообразия Калаби‑Яу с различной топологией, тогда как предыдущее относилось к поверхностям с одной и той же топологией, хотя и с различной геометрией (все K3‑поверхности являются топологически эквивалентными). Проблема состояла в том, что никому не был известен способ объединения многообразий Калаби‑Яу в пары, связанные между собой столь странным образом. Модели Гепнера оказались ключом к разгадке – и эти же модели помогли встретиться Брайану Грину и Ронену Плессеру.