Это утверждение проще всего понять при помощи аналогии. Взяв набор линейных сегментов или, например зубочисток, можно сделать из них цилиндр, втыкая их определенным образом в кружок из пробки. Вместо цилиндра, имеющего две стороны, из тех же зубочисток можно сделать и одностороннюю ленту Мёбиуса, втыкая их под небольшим углом друг к другу. Итак, из одних и тех же частей (подмногообразий) можно получить объекты с совершенно разной топологией.[116]
Дело в том, что, проведя преобразование T‑дуальности и используя различные методы сборки подмногообразий, мы получим два топологически различных многообразия, идентичных с точки зрения физики. Это часть того, что мы подразумеваем под зеркальной симметрией, но это далеко не все, поскольку другая важная особенность T‑дуальности состоит в том, что зеркальные пары должны иметь эйлеровы характеристики противоположных знаков. Однако все многообразия, рассмотренные здесь – особые лагранжевы многообразия, – имеют эйлеровы характеристики, равные нулю, которые не изменяются при замене радиусов на 1/r.
Все сказанное выше выполняется для «хороших» (несингулярных) подмногообразий, а для «плохих» (сингулярных) работать не будет. В таких подмногообразиях T‑дуальность приведет к изменению знака эйлеровой характеристики с +1 на ‑1 и наоборот. Предположим, что исходное многообразие включает тридцать пять плохих подмногообразий, двадцать пять из которых имеют эйлерову характеристику, равную + 1, а десять – равную ‑1. Как показал Гросс, эйлерова характеристика многообразия является суммой эйлеровых характеристик входящих в него подмногообразий – в данном случае она будет равна + 15. В зеркальном многообразии все будет наоборот: двадцать пять подмногообразий будут иметь эйлерову характеристику, равную ‑1, а десять – +1, что даст в результате ‑15 – величину, противоположную эйлеровой характеристике исходного многообразия – что как раз и было нам нужно.
Эти “плохие” подмногообразия, как уже обсуждалось выше, соответствуют “плохим” точкам в пространстве модулей В. Как объясняет Гросс: «Все самое интересное в зеркальной симметрии, все топологические изменения происходят в вершинах пространства В». Итак, возникшая картина делает пространство Вцентральным объектом зеркальной симметрии. С самого начала это явление было покрыто мистическим туманом. «У нас были в наличии два многообразия, Xи X', неким образом связанные друг с другом, но что именно у них было общего – понять сложно», – добавляет Гросс. Этим «общим» оказалось пространство В, о существовании которого никто изначально не подозревал.
Гросс считает пространство Вчем‑то вроде кальки. Взглянув на кальку под одним углом, вы увидите одну структуру (многообразие), посмотрев под другим углом – другую. Эта разница обусловлена наличием сингулярных точек в пространстве В, в которых T‑дуальность перестает хорошо работать, что и приводит к изменениям.
Приблизительно такова современная картина зеркальной симметрии с точки зрения гипотезы SYZ. Одним из главных преимуществ этой гипотезы, по словам Строминджера, является то, что «происхождение зеркальной симметрии несколько прояснилось. Она пришлась по вкусу математикам, предоставив им геометрическую картину возникновения зеркальной симметрии – теперь они уже могли не ссылаться в своих исследованиях на теорию струн»[117]. В дополнение к геометрическому объяснению зеркальной симметрии наша гипотеза, по словам Заслоу, «предложила метод создания зеркальных пар».[118]
Важно иметь в виду, что SYZ является всего лишь гипотезой, доказанной только в нескольких частных случаях, но не в общем виде. Несмотря на то что в своей первоначальной формулировке эта гипотеза, возможно, недоказуема, она была модифицирована в свете новых идей, соединив в себе, по словам Гросса, «все из области зеркальной симметрии».[119]
Последнее утверждение многим может показаться спорным – и, возможно, даже преувеличенным. Но гипотеза SYZ уже использовалась, в частности, Концевичем и Яковом Сойбельманом из Университета штата Канзас для доказательства частного случая гомологической зеркальной симметрии, являющейся еще одной попыткой дать фундаментальное математическое описание зеркальной симметрии.
Теория гомологической зеркальной симметрии была впервые предложена Концевичем в 1993 году и на сегодняшний день находится на стадии разработки, привлекая к себе интерес как физиков, так и математиков. Изначальная формулировка зеркальной симметрии была по большому счету бессмысленной с точки зрения математиков, поскольку предполагала наличие двух различных многообразий, порождающих одинаковую физику. Но как объясняет Сойбельман, «в математике действительно нет понятия физической теории, связанной с многообразиями Xи X'.Концевич же попытался придать этому утверждению математическую строгость», представив ее в виде, не привязанном к физическим понятиям.[120]
Пожалуй, наиболее простым способом описания гомологической зеркальной симметрии является описание в терминах D‑бран, хотя идея Концевича опередила их открытие на год или два. Физики представляют себе D‑браны как подповерхности, к которым должны крепиться концы открытых струн. Теория гомологической зеркальной симметрии предсказывала существование D‑бран, давая весьма детальное описание этих объектов, ставших одними из важнейших составляющих теории струн, точнее, М‑теории, после второй струнной революции. В общем, это знакомая история, когда физическое открытие, в данном случае – зеркальная симметрия, дает толчок развитию математики, а математика, в свою очередь, сполна рассчитывается перед физикой.
Одной из главных идей, лежащих в основе гомологической зеркальной симметрии, является идея существовании двух различных типов D‑бран – А‑брани В‑бран. Эти термины введены Виттеном. Для зеркальной пары многообразий Калаби‑Яу Xи X'А‑брана на многообразии Xбудет совпадать с В‑браной на многообразии X'.Это краткое определение, по словам Эспинволла, «дало возможность математикам строго сформулировать понятие зеркальной симметрии. Из этой формулировки уже можно было получить все остальное»[121].
Как говорит Майкл Дуглас, физик из Университета Стоуни‑Брук, «представьте, что у вас есть два конструктора, детали которых имеют различную форму. Однако набор моделей, которые вы можете из них собрать, один и тот же»[122]. Это полностью аналогично соответствию между А‑бранами и В‑бранами, заявленному в теории гомологической зеркальной симметрии.
А‑браны представляют собой объекты, описываемые в рамках так называемой симплектической геометрии, тогда как В‑браны являются предметом исследования алгебраической геометрии. Мы уже слегка касались алгебраической геометрии, говоря о том, что она позволяет описывать геометрические кривые в алгебраических терминах и решать геометрические задачи при помощи алгебраических уравнений. Симплектическая геометрия содержит ключевое для многообразий Калаби‑Яу (и не только для них) понятие кэлеровой геометрии. В то время как пространства в дифференциальной геометрии обычно описываются симметричным относительно диагонали метрическим тензором, в симплектической геометрии метрика симметричной не является – при переходе через диагональ знаки изменяются.
«Эти две области геометрии рассматривались как совершенно отдельные, поэтому стало большой неожиданностью, когда обнаружилось, что алгебраическая геометрия одного пространства эквивалентна симплектической геометрии другого, – говорит Эспинволл. – Соединение двух различных областей, установление того, что они в определенном смысле связаны через понятие зеркальной симметрии, можно считать одним из крупнейших событий в математике, потому что теперь методы, разработанные для одной области, можно применять и в другой. Обычно это в буквальном смысле устраняет все препятствия на пути, в конце которого вас ждет медаль Филдса».[123]