Взагалі кажучи, вибір того чи іншого пакета викладач узгоджує із спеціальною кафедрою.
Спочатку на прикладі застосування пакета DERIVE покажемо, як можна знайти загальний та частинний розв’язок ДР першого порядку. З цією метою завантажується файл ODE1.mth:
File/ Open/ODE1.mth/Open/# № /Edit/ відредагувати функцію.
Файл містить значну кількість функцій для розв’язання основних типів ДР, які передбачені програмою з курсу вищої математики. Наведемо деякі з них. Рівняння з відокремлюваним змінними
y'=p(
x)
q(
y) розв’язується за допомогою функції
SEPARABLE_GEN(p,q,x,y,c)
. Якщо розглядається задача Коші
Аналогічні функції дають можливість розв’язати ДР у повних диференціалах, однорідні, лінійні і інші типи. Нижче наведено приклади розв’язання ДР першого порядку за допомогою ODE1.mth.
При вивченні рівнянь з відокремлюваними змінними рекомендується функція
SEPARABLE_GEN(p,q,x,y,c),
причому, ДР необхідно звести до вигляду
dy/dx=p(
x)
q(
y)
.Тобто, перш ніж застосовувати ту чи іншу функцію пакета, студент вимушений спершу визначити тип ДР, скориставшись методом наукового пізнання – класифікацією. При цьому студенти частіше спілкуються один з одним щодо предмету та процесу вивчення ДР. Розв’язок одержується у вигляді загального розв’язку або загального інтеграла
Ф(
x,
y,
c)=0.
Якщо за допомогою тієї чи іншої функції не вдається знайти розв’язок ДР, система повертає повідомлення «inapplicable»(не застосовується).
Інші функції системи дають можливість розв’язати ДР першого порядку спеціальних видів. Якщо в кінці імені функції стоїть слово GEN , то така функція повертає загальний розв’язок. Вказані функції також повертають загальний розв’язок, якщо початкові умови задано у символічному вигляді.
За допомогою деяких функцій можна подати графічне зображення розв’язків. Якщо розв’язок одержано у неявному вигляді, то за допомогою послуги SOLVE в деяких випадках можна знайти його у явному вигляді.
В системі
Maple VДР розв’язуються за допомогою інструментального пакета
DEtools
. Проте на відміну від системи
Функція розв’язання ДР пакета DEtools має таку структуру:
dsolve(deqns, vars, option),
де
deqns – одне рівняння або система, яка складається із систем ДР першого порядку; можуть бути задані початкові або крайові умови;
vars – змінні, відносно яких розв’язується рівняння;
option – параметр, який вказує на метод розв’язання: exact – аналітичний розв’язок (приймається за погодженням), explicit – розв’язок у явному вигляді, laplace – застосування перетворення Лапласа, series – розв’язок рівняння у вигляді степеневого ряду, numeric – чисельний метод розв’язування ДР.
Якщо знаходиться загальний розв’язок ДР першого або вищого порядку, то він містить константи, які мають вигляд _C1, _C2і т.д. Наведені константи можуть входити у розв’язок ДР, якщо за допомогою системи Maple Vрозв’язується задача Коші або крайова задача із меншою кількістю умов, ніж порядок ДР.
de:=diff(y(x),x)=-(3*x^2+6*x*y(x)^2)/(6*x^2*y(x)+4*y(x)^3);
dsolve(de,y(x));
dsolve({diff(y(x),x$2)+3*diff(y(x),x)-4*y(x)=0,y(0)=0, D(y)(0)=3} ,y(x));
dsolve({diff(y(x),x$2)+3*diff(y(x),x)-4*y(x)=0,y(0)=0},y(x))
Якщо розв’язок ДР знайдено у неявному вигляді, то в структуру входить параметр – С.
Функції системи Maple Vдають можливість шляхом заміни змінної зводити дане рівняння до рівнянь, метод розв’язання яких може бути відомим. Наведемо приклади перетворення ДР за допомогою засобів системи Maple V.
Приклад.Доведіть, що ДР x 3 y'–x 6 y 2 –(2 x–3) x 2 y+3 =0 за допомогою підстановки y=–u'/( x 3 u) зводиться до лінійного однорідного ДР зі сталими коефіцієнтами u''–2 u'–3 u=0 .
Вводиться ДР. Далі вводиться функція перетворення.
Функція Dchangevar(eqns,h) пакета DEtools виконує перетворення ДР, а за допомогою функції simplify спрощується вираз.
class="underline" =simplify(Dchangevar(eqns,h));
Одержане рівняння розв’язується відносно старшої похідної.
diff(u(x),x$2)=solve(convert(l,equality),diff(u(x),x$2));
Отже, дане ДР зведено до рівняння зі сталими коефіцієнтами
u''– 2 u'– 3 u= 0 .
В окремих випадках система Mapleможе знайти особливий розв’язок ДР. Наприклад, ввівши команду
dsolve(sqrt(1+diff(y(x),x)^2)+x*diff(y(x),x)=y(x),y(x));
одержуємо два розв’язки ДР, загальний та особливий.
За допомогою додаткової процедури expandспрощується вираз особливого розв’язку.
> x^2=expand((-sqrt(1-y^2)/(sqrt(1/(y^2))*y))^2);
Доцільно дати завдання для самостійної роботи: пояснити реакції системи Maple Vна виконання програм:
а) with(DEtools): sys:=diff(x(t),t)=3.-2*y(t),diff(y(t),t)=2*x(t)-2*t:
dsolve({sys},{y(t),x(t)});