Поглибити рівень засвоєння розділу ДР другого порядку і теми в цілому можна за рахунок застосування знаково-символьних засобів, які розрізняються своїми характеристиками, що дозволяє формувати уміння виділяти відношення форми і змісту об’єкта.
Розглянемо приклад розв’язування завдання типового розрахунку, із використанням різних методів розв’язування диференціального рівняння та різних комп’ютерних математичних систем. Нехай рівняння (1) має вигляд:
x''( t) +3 x'( t) +5 x( t)=4sin3 t, x(0)=0, x'(0)=0 (2)
Розв’язання задачі (2) спершу здійснюється методом невизначених коефіцієнтів у відповідній послідовності з використанням пакету DERIVE. Далі студентам дається завдання для самостійної роботи: Зробити перевірку одержаного результату, скориставшись, наприклад, програмою пакета Maple:
with(DEtools):
dsolve({diff(x(t),t$2)+3*diff(x(t),t)+5*x(t)=4*sin(3*t),x(0)=0,D(x)(0)=0},x(t));
Використовуються також інші методи. Метод варіації довільних сталих доцільно реалізувати за допомогою пакету DERIVE. Метод інтегрального перетворення Лапласа у такій послідовності (система Maple):
– перший етап
знайти зображення F( p) ДР за Лапласом;
розкласти одержаний дріб F( p) на елементарні дроби;
застосувати функцію оберненого перетворення Лапласа invlaplace .
– другий етап
знайти зображення F( p) ДР за Лапласом;
розкласти одержаний дріб F( p) на елементарні дроби;
застосувати лишки до знаходження оригіналу.
Доцільно ознайомити студентів із методом інтеграла Дюамеля, оскільки вони набули до цього уміння застосовувати перетворення Лапласа і цей етап реалізує закріплення матеріалу.
Оскільки результати спостережень за вхідним сигналом є наближеними, то у типовому розрахунку передбачається використання методу апроксимації, який реалізується у такій послідовності.
а) Метод найменших квадратів.
Відомі спостереження в точках f(0)=4sin(0) =0, f(1)=4sin(3)=0.5644798, f(2)=4sin(6)=–1.1176616, f(3)=4sin(9)=1.6484734, рівняння розв’язується за умови, що вхідним впливом є функція
f( t) =P 3( t) =a 0 +a 1 t+a 2 t 2 +a 3 t 3
– інтерполяційний многочлен третього степеня. Функцію P 3( t) знаходимо за методом найменших квадратів.
б) Кусково-лінійна апроксимація.
Розв’яжемо рівняння (1), у випадку, коли вхідний сигнал задається кусково-лінійною функцією f( t) =x 4( t):
в) Наближення інтерполяційними сплайнами.
Розв’яжемо рівняння (2), у випадку, коли вхідний сигнал задається сплайн-функцією
f(
t)=
x
3(
t),
Завдання для самостійної роботи
Використати інші із розглянутих методів розв’язання диференціального рівняння з правою частиною (сплайн-функції).
Поява сучасних комп’ютерів та математичних комп’ютерних систем створили умови для використання у навчальному процесі більшої кількості наближених методів та ознайомлення студентів із сучасними наближеними аналітичними методами розв’язування ДР, зокрема, методом відомого українського математика Дзядика В.К. (1919-1998).
Метод дає можливість на заданому проміжку будувати многочлени, які з високою точністю наближають шуканий розв’язок, особливо у випадку, коли коефіцієнтами лінійного диференціального рівняння (ДР) є многочлени. Розглянемо застосування методу на прикладі деяких класів ДР.
Без використання математичних комп’ютерних систем типу Mathematicа завершити обчислення можна лише в найпростіших випадках. Використаємо пакет Mathematicа 4.0 при розв’язуванні задачі Коші [4]. Якщо розв’язується задача
y''+3 y'+5 y=–x 3 +2 x 2, y(0)=1, y'(0)=–1, (3)
наближений розв’язок рівняння шукаємо у вигляді многочлена, наприклад, четвертого степеня. Розв’язок має вигляд
Нижче наведено графіки відхилення та відносної похибки точного і наближеного розв’язків рівняння (3).
Наближений розв’язок рівняння Бесселя у вигляді степеневого ряду знаходиться за допомогою системи Mapleтак. Програма мовою системи має вигляд.
Order:=10:dsolve(x^2*diff(y(x),x$2)+diff(y(x),x)*x+(x^2-1)*y(x)=0,y(x),series);
Наближення загального розв’язку система записує таким чином
Проте загальний розв’язок система повертає і у звичній формі:
dsolve(x^2*diff(y(x),x$2)+diff(y(x),x)*x+(x^2-k^2)*y(x)=0,y(x));
Як ми уже бачили, моделі деяких процесів описуються нелінійними диференціальними рівняннями. Особливо це стосується дослідження систем автоматичного управління, які описуються нелінійними математичними моделями. Тому для одержання характеристик динамічної системи часто перетворюють рівняння. Одним із методів перетворення рівнянь є метод лінеаризації. Він полягає у послідовному перетворенні нелінійного рівняння, в результаті чого одержується лінійне рівняння, яке відповідає заданому нелінійному. Розглядають повну лінеаризацію, коли рівняння зводиться до такого, в якому міститься менша кількість нелінійностей або спрощені нелінійності – наприклад, коли функція y=e х заміняється першими членами ряду Тейлора 1 +x+0.5 x 2.
Приклад . Знайти методом лінеаризації наближений розв’язок системи ДР, яка є варіантом моделі розвитку популяції
де x( t), y( t) – кількість жертв та хижаків, α>0, β<0, γ<0, δ>0.
Початкові умови x(0) =x 0, y(0) =y 0.
Замінимо нелінійну задачу лінійною в околі стаціонарної точки, де dx/dt=0, dy/dt=0. Це точка з координатами x s =–γ/δі
y s =–α/β. Праві частини рівнянь системи подамо у вигляді формули Тейлора в околі стаціонарної точки M( x s , y s ), обмежившись лінійними членами.
f( x, y) =f( M) +df/dx( M)( x–x s ) +df/dy( M)( y–y s ) +...
Тоді αx+βxy=βx s ( y–y s ), γy+δxy=δy s ( x–x s ), а лінеаризована система набуває вигляду
Можна зробити висновок про те, що поведінка розв’язку заданої системи у певному розумінні близька до розв’язку лінеаризованої системи ДР і, що на основі цього можна робити певні висновки та припущення щодо досліджуваного процесу. Наприклад, що фазові траєкторії в околі стаціонарної (особливої) точки є концентричними, що коливання в системі «хижак–жертва» є нестійкими.