10. Склонный к математике читатель заметит, что свет путешествует вдоль нулевых геодезических пространственно-временной метрики, которые для определенности мы можем выбрать равными ds2 = dt2 – a2(t)(dx2), где dx2 = dx12 + dx22 + dx32, а xi есть сопутствующие координаты. Выбирая ds2 = 0, что соответствует нулевым геодезическим, мы можем записать ∫tt0 (dt/a(t)) для полного сопутствующего расстояния, которое свет, испущенный в момент t, может пройти до момента t0. Если мы умножим это на величину масштабного фактора a(t0) в момент t0, мы рассчитаем физическое расстояние, которое прошел свет за этот временной интервал. Этот алгоритм может быть широко использован, чтобы рассчитать, как далеко свет может улететь за данный временной интервал, обнаруживая, являются ли две точки в пространстве, например, причинно связанными. Как вы можете видеть, для ускоренного расширения даже для достаточно большого t0 интеграл ограничен, показывая, что свет никогда не достигнет достаточно удаленного сопутствующего положения. Таким образом, во вселенной с ускоренным расширением имеются места, с которыми мы никогда не сможем связаться, и наоборот, области, которые никогда не смогут связаться с нами. О таких областях говорят как о находящихся за пределами нашего космического горизонта.
(обратно)11. Для анализа геометрической формы математики и физики используют количественный подход к кривизне, разработанный в девятнадцатом столетии, который сегодня является частью математической области знаний, известной как дифференциальная геометрия. Один неформальный способ размышления об измерении кривизны заключается в изучении треугольников, нарисованных на или внутри изучаемой области. Если сумма углов треугольника равна 180 градусов, как это будет, когда он нарисован на плоской столешнице, мы говорим, что область плоская. Но если сумма углов больше или меньше 180 градусов, как это будет, когда треугольник нарисован на поверхности сферы (направленное наружу выдувание сферы из плоскости заставит сумму углов превысить 180 градусов) или на поверхности седла (вдавливание седловой поверхности внутрь из плоскости заставит сумму углов быть меньше 180 градусов), мы говорим, что поверхность кривая. Это показано на Рис. 8.6.
(обратно)12. Если вы склеили противоположные вертикальные края тора-экрана вместе (что есть основания сделать, поскольку они отождествлены – когда вы проходите через один край, вы немедленно возникаете на другом, – вы получите цилиндр. И затем, если вы сделали то же самое с верхним и нижним краями (которые теперь будут иметь форму окружностей), вы получите форму пончика (бублика). Таким образом, пончик есть другой способ размышления о торе или представления тора. Одно усложнение этого представления заключается в том, что пончик больше не выглядит плоским! Однако, это на самом деле так. Используя понятие кривизны, данное в предыдущем комментарии, вы найдете, что все треугольники, нарисованные на поверхности пончика имеют углы, чья сумма равна 180 градусов. Факт, что пончик выглядит кривым, является ложным изображением того, как мы вставили двумерную поверхность в наш трехмерный мир. По этой причине в текущем контексте более удобно использовать явно неискривленные представления двух- и трехмерных торов, как это обсуждается в тексте.
(обратно)13. Отметим, что мы потеряли в различении концепций формы и кривизны. Имеются три типа кривизны для полностью симметричного пространства: положительная, нулевая и отрицательная. Но две поверхности могут иметь одинаковую кривизну и все же не быть идентичными, простейшим примером является плоский видеоэкран и плоская бесконечная столешница. Таким образом, симметрия позволяет нам свести кривизну пространства к трем возможностям, но имеются в некотором смысле больше чем три формы пространства (отличающиеся тем, что математики называют глобальными свойствами), которые проявляют эти три кривизны.
(обратно)14. До настоящего момента мы сосредоточивались исключительно на кривизне трехмерного пространства – кривизне пространственных сечений в пространственно-временном батоне. Однако, хотя это тяжело изобразить, во всех трех случаях пространственной кривизны (положительной, нулевой, отрицательной) все четырехмерное пространство-время искривлено со степенью кривизны, становящейся все больше, когда мы исследуем вселенную все ближе к Большому взрыву. Фактически, вблизи момента Большого взрыва четырехмерная кривизна пространства-времени возрастает настолько, что уравнения Эйнштейна отказывают. Мы обсудим это далее в последующих главах.
(обратно)