(4.3)
Не правда ли, очень красивое рассуждение? Вопрос только в том, справедливо ли оно. (Ведь, в конце концов, природа не обязана следовать нашим рассуждениям.) Например, не исключено, что в действительности вечное движение возможно. Или другие предположения ошибочны. Или мы просмотрели что-то в своих рассуждениях. Поэтому их непременно нужно проверить. И вот — справедливость их подтверждает опыт.
Потенциальная энергия — это общее название для энергии, связанной с расположением по отношению к чему-либо. В данном частном случае это — потенциальная энергия тяготения. Если же производится работа против электрических сил, а не сил тяготения, если мы «поднимаем» заряды «над» другими зарядами с помощью многочисленных рычагов, тогда запас энергии именуется электрической потенциальной энергией. Общий принцип состоит в том, что изменения энергии равны силе, умноженной на то расстояние, на котором она действует:
(4.4)
По мере чтения курса мы еще не раз будем возвращаться к другим видам потенциальной энергии.
Принцип сохранения энергии во многих обстоятельствах оказывается очень полезен при предсказании того, что может произойти. В средней школе мы учили немало правил о блоках и рычагах. Мы можем теперь убедиться, что все эти «законы» сводятся к одному, и нет нужды запоминать 75 правил. Вот вам простой пример: наклонная плоскость. Пусть это треугольник со сторонами 3, 4, 5 (фиг. 4.3).
Фиг. 4.3. Наклонная плоскость.
Подвесим к блочку груз весом 1 кг и положим его на плоскость, а с другой стороны подвесим груз W.
Мы хотим знать, какова должна быть тяжесть W, чтобы уравновесить груз 1 кг. Рассуждаем так. Если грузы W и 1 кг уравновешены, то это — обратимое состояние, и веревку можно двигать вверх-вниз. Пусть же вначале (фиг. 4.3,а) 1 кг находится внизу плоскости, а груз W — наверху. Когда W соскользнет вниз, груз 1 кг окажется наверху, а W опустится на длину склона (фиг. 4.3,6), т. е. на 5 м. Но ведь мы подняли 1 кг только на высоту 3 м, хотя опустили W на 5 м. Значит, W=3/5 кг. Заметьте, что этот ловкий вывод получен не из разложения сил, а из сохранения энергии. Ловкость, впрочем, относительна. Существует другой вывод, куда красивее. Он придуман Стевином и даже высечен на его надгробии. Фиг. 4.4 объясняет, почему должно получиться 3/5 кг: цепь не вращается и нижняя ее часть уравновешена сама собой, значит сила тяги пяти звеньев с одной стороны должна уравнять силу тяги трех звеньев с другой (по длине сторон).
Фиг. 4.4. Это выгравировано на надгробии Стевина.
Глядя на диаграмму, становится очевидно, что W=3/5 кг. (Неплохо было бы, если бы когда-нибудь что-нибудь подобное высекли и на вашем надгробном камне.)
А вот задача посложнее: домкрат, показанный на фиг. 4.5.
Фиг. 4.5. Домкрат.
Посмотрим, как в таком случае применять этот принцип. Для вращения домкрата служит ручка длиной 1 м, а нарезка винта имеет 4 витка на 1 см. Какую силу нужно приложить к ручке, чтобы поднять 1 т? Желая поднять 1 т на 1 см, мы должны обойти домкрат четырежды, каждый раз делая по 6,28 м (2πr), а всего 25,12 м. Используя различные блоки и т. п., мы действительно можем поднять 1 т с помощью неизвестного груза W, приложенного к концу ручки. Ясно, что W равно примерно 400 г. Это — следствие сохранения энергии.
И еще более сложный пример (фиг. 4.6).
Фиг. 4.6. Нагруженный стержень, подпертый с одного конца.
Подопрем один конец стержня (или рейки) длиной 8 м. Посредине рейки поместим груз весом 60 кг, а в 2 м от подпорки — груз весом 100 кг. Сколько надо силы, чтобы удержать рейку за другой конец в равновесии, пренебрегая ее весом? Пусть мы прикрепили блок и перекинули через него веревку, привязав ее к концу рейки. Каков же должен быть вес W, уравновешивающий стержень? Представим, что вес опустился на произвольное расстояние (для простоты пусть это будет 4 см); на сколько тогда поднимутся наши два груза? Середина рейки на 2 см, а второй груз (он лежит на четверти длины рейки) на 1 см. Значит, в согласии с правилом, что сумма весов, умноженных на высоты, не меняется, мы должны написать: вес W на 4 см вниз плюс 60 кг на 2 см вверх плюс 100 кг на 1 см вверх, что после сложения должно дать нуль: