(6.4)
где символ n!, называемый «n-факториалом», обозначает произведение всех целых чисел от 1 до n, т. е. 1·2·3 ... (n-1)n.
Теперь уже все готово для того, чтобы с помощью выражения (6.1) подсчитать вероятность P(k,n) выпадения k раз «орла» в серии из n испытаний. Полное число всех возможностей будет 2n (поскольку в каждом испытании возможны два исхода), а число равновероятных комбинаций, в которых выпадет «орел», будет (nk), так что
(6.5)
Поскольку P(k,n) — доля тех серий испытаний, в которых выпадение «орла» ожидается k раз, то из ста серий k выпадений «орла» ожидается 100·P(k,n) раз. Пунктирная кривая на фиг. 6.2 проведена как раз через точки функции 100·P(k,30). Видите, мы ожидали получить 15 выпадений «орла» в 14 или 15 сериях испытаний, а получили только в 13. Мы ожидали получить 16 выпадений «орла» в 13 или 14 сериях испытаний, а получили в 16. Но такие флуктуации вполне допускаются «правилами игры».
Использованный здесь метод можно применять и в более общей ситуации, где в каждом единичном испытании возможны только два исхода, которые давайте обозначим через В (выигрыш) и П (проигрыш). Вообще говоря, вероятности В и П в каждом отдельном испытании могут быть разными. Пусть р, например, будет вероятностью результата В. Тогда q (вероятность результата П) должна быть равна 1-p. В серии из n испытаний вероятность того, что результат В получится k раз, равна
(6.6)
Эта функция вероятностей называется биномиальным законом распределения вероятности.
§ 3. Случайные блуждания
Существует еще одна интересная задача, при решении которой не обойтись без понятия вероятности. Это проблема «случайных блужданий». В простейшем варианте эта задача выглядит следующим образом. Вообразите себе игру, в которой игрок, начиная от точки х=0, за каждый ход может продвинуться либо вперед (до точки х), либо назад (до точки -х), причем решение о том, куда ему идти, принимается совершенно случайно, ну, например, с помощью подбрасывания монеты. Как описать результат такого движения? В более общей форме эта задача описывает движение атомов (или других частиц) в газе — так называемое броуновское движение — или образование ошибки при измерениях. Вы увидите, насколько проблема «случайных блужданий» тесно связана с описанным выше опытом с подбрасыванием монеты.
Прежде всего давайте рассмотрим несколько примеров случайных блужданий. Их можно описать «чистым» продвижением DN за N шагов. На фиг. 6.5 показаны три примера путей при случайном блуждании. (При построении их в качестве случайной последовательности решений о том, куда сделать следующий шаг, использовались результаты подбрасывания монеты, приведенные на фиг. 6.1.)
Фиг. 6.5. Три примера случайного блуждания. По горизонтали отложено число шагов N, по вертикали — координата D(N), т. е. чистое расстояние от начальной точки.
Что можно сказать о таком движении? Ну, во-первых, можно спросить: как далеко мы в среднем продвинемся? Нужно ожидать, что среднего продвижения вообще не будет, поскольку мы с равной вероятностью можем идти как вперед, так и назад. Однако чувствуется, что с увеличением N мы все с большей вероятностью можем блуждать где-то все дальше и дальше от начальной точки. Поэтому возникает вопрос: каково среднее абсолютное расстояние, т. е. каково среднее значение |D|? Впрочем, удобнее иметь дело не с |D|, а с D2; эта величина положительна как для положительного, так и для отрицательного движения и поэтому тоже может служить разумной мерой таких случайных блужданий.