Можно показать, что ожидаемая величина DN2 равна просто N — числу сделанных шагов. Кстати, под «ожидаемой величиной» мы понимаем наиболее вероятное значение (угаданное наилучшим образом), о котором можно думать как об ожидаемом среднем значении большого числа повторяющихся процессов блуждания. Эта величина обозначается как <DN2> и называется, кроме того, «средним квадратом расстояния». После одного шага D2 всегда равно +1, поэтому, несомненно, <D12>=1. (За единицу расстояния всюду будет выбираться один шаг, и поэтому я в дальнейшем не буду писать единиц длины).
Ожидаемая величина DN2 для N>1 может быть получена из DN-1. Если после (N-1) шагов мы оказались на расстоянии DN-1, то еще один шаг даст либо DN=DN-1+1, либо DN=DN-1-1. Или для квадратов
(6.7)
Если процесс повторяется большое число раз, то мы ожидаем, что каждая из этих возможностей осуществляется с вероятностью 1/2, так что средняя ожидаемая величина будет просто средним арифметическим этих значений, т. е. ожидаемая величина DN2 будет просто DN2+1. Но какова величина DN-12, вернее, какого значения ее мы ожидаем? Просто, по определению, ясно, что это должно быть «среднее ожидаемое значение» <DN-12>, так что
(6.8)
Если теперь вспомнить, что <D12>=1, то получается очень простой результат:
(6.9)
Отклонение от начального положения можно характеризовать величиной типа расстояния (а не квадрата расстояния); для этого нужно просто извлечь квадратный корень из <DN2> и получить так называемое «среднее квадратичное расстояние» Dск:
(6.10)
Мы уже говорили, что случайные блуждания очень похожи на опыт с подбрасыванием монет, с которого мы начали эту главу. Если представить себе, что каждое продвижение вперед или назад обусловливается выпадением «орла» или «решки», то DN будет просто равно NО-NР, т. е. разности числа выпадений «орла» и «решки». Или поскольку NО-NР=N (где N — полное число подбрасываний), то DN=2NO-N. Вспомните, что раньше мы уже получали выражение для ожидаемого распределения величины NО [она обозначалась тогда через k; см. уравнение (6.5)]. Ну а поскольку N — просто постоянная, то теперь такое же распределение получил ось и для D. (Выпадение каждого «орла» означает невыпадение «решки», поэтому в связи между NО и D появляется множитель 2.) Таким образом, на фиг. 6.2 график представляет одновременно и распределение расстояний, на которые мы можем уйти за 30 случайных шагов k=15 соответствует D=0, а k=16 соответствует D=2 и т. д.).
Отклонение NО от ожидаемой величины N/2 будет равно
(6.11)
откуда для среднего квадратичного отклонения получаем
(6.12)
Вспомним теперь наш результат для Dск. Мы ожидаем, что среднее расстояние, пройденное за 30 шагов, должно быть равно √30=5,5, откуда среднее отклонение k от 15 должно быть 5,5:2=2,8. Заметьте, что средняя полуширина нашей кривой на фиг. 6.2 (т. е. полуширина «колокола» где-то посредине) как раз приблизительно равна 3, что согласуется с этим результатом.
Теперь мы способны рассмотреть вопрос, которого избегали до сих пор. Как узнать, «честна» ли наша монета? Сейчас мы можем, по крайней мере частично, ответить на него. Если монета «честная», то мы ожидаем, что в половине случаев выпадет «орел», т. е.
(6.13)
Одновременно ожидается, что действительное число выпадений «орла» должно отличаться от N/2 на величину порядка √N/2, или, если говорить о доле отклонения, она равна
