(6.17)
Функция р(х) называется плотностью вероятности.
Вид кривой р(х) зависит как от числа шагов N, так и от распределения шагов по длинам (т. е. от того, какую долю составляют шаги данной длины). К сожалению, я не могу здесь заниматься доказательством этого, а только скажу, что при достаточно большом числе шагов N плотность p(х) одинакова для всех разумных распределений шагов по длинам и зависит лишь от самого N. На фиг. 6.7 показаны три графика р(х) для различных N.
Фиг. 6.7. Плотность вероятности оказаться при случайном блуждании через N шагов на расстоянии D. D измеряется в единицах средней квадратичной длины шага.
Заметьте, что «полуширины» этих кривых, как это и должно быть по нашим предыдущим расчетам, приблизительно равны √N.
Вы, вероятно, заметили также, что величина р(х) вблизи нуля обратно пропорциональна √N. Это происходит потому, что все кривые по форме очень похожи, только одни «размазаны» больше, а другие — меньше, и, кроме того, площади, ограниченные каждой кривой и осью х, должны быть равны. Действительно, ведь р(х)Δx; это вероятность того, что D находится где-то внутри интервала Δx; (Δx мало). Как определить вероятность того, что D находится где-то между x1 и х2? Для этого разобьем интервал между x1 и х2 на узкие полоски шириной Δx; (фиг. 6.8) и вычислим сумму членов р(x)Δx для каждой такой полоски.
Фиг. 6.8. Вероятность [заштрихованная область под кривой р(х)] того, что при случайном блуждании пройденное расстояние D окажется между x1 и х2.
Геометрически эта вероятность [запишем ее в виде Р(x1<D<х2)] равна площади заштрихованной области на фиг. 6.8. При этом чем уже будут наши полоски, тем точнее результат. Поэтому можно записать
(6.18)
Площадь же ограничения всей кривой просто равна вероятности того, что D принимает какое-то значение между -∞ и +∞. Ясно, что она должна быть равна единице, т. е.
(6.19)
Ну а поскольку ширина кривых на фиг. 6.7 пропорциональна √N, то, чтобы сохранить ту же площадь, их высота должна быть пропорциональна 1/√N.
Плотность вероятности, которую мы только что описали, встречается наиболее часто. Она известна также под названием нормальной, или гауссовой, плотности вероятности и записывается в виде
(6.20)
причем величина σ называется стандартным отклонением. В нашем случае σ=√N или √NSск, если средняя квадратичная длина шага отлична от единицы.
Мы уже говорили о том, что движения молекул или каких-то других частиц в газе похожи на случайные блуждания. Представьте себе, что мы открыли в комнате пузырек с духами или каким-то другим органическим веществом. Тотчас же молекулы его начнут испаряться в воздух. Если в комнате есть какие-то воздушные течения, скажем циркуляция воздуха, то они будут переносить с собой пары этого вещества. Но даже в совершенно спокойном воздухе молекулы будут распространяться, пока не проникнут во все уголки комнаты. Это можно определить по запаху или цвету. Если нам известен средний размер «шага» и число шагов в секунду, то можно подсчитать вероятность обнаружения одной или нескольких молекул вещества на некотором расстоянии от пузырька через какой-то промежуток времени. С течением времени число шагов возрастает и газ «расползается» по комнате, подобно нашим кривым на фиг. 6.7. Длина шагов и их частота, как вы узнаете впоследствии, связаны с температурой и давлением воздуха в комнате.
Вы знаете, что давление газа вызывается тем, что молекулы его бомбардируют стенки сосуда. Позднее, когда мы подойдем к количественному описанию этого явления, нам понадобится знать, с какой скоростью движутся молекулы, ударяясь о стенку, поскольку сила их ударов зависит от скорости. Однако говорить о какой-то определенной скорости молекул совершенно невозможно. В этом случае необходимо использовать вероятностное описание. Молекула может иметь любую скорость, но некоторые скорости предпочтительнее других. Все происходящее в газе можно описать, сказав, что вероятность того, что данная молекула движется с какой-то скоростью между v и v+Δv, будет равна p(v)Δv, где р(v) — плотность вероятности, которая зависит от скорости v. Позднее я расскажу, как Максвелл, используя общие понятия и идеи теории вероятности, нашел математическое выражение для функции p(v)[8]. Примерный вид функции p(v) показан на фиг. 6.9.
8
Максвелл получил выражение