Фиг. 6.9. Распределение молекул газа по скоростям.
Скорость может иметь любую величину, однако больше шансов за то, что она окажется где-то в окрестности наиболее вероятного или ожидаемого значения <v>.
О кривой, показанной на фиг. 6.9, часто говорят в несколько ином смысле. Если мы возьмем газ, заключенный в каком-то сосуде (скажем, объемом 1л), то окажется, что в нем имеется огромное количество молекул (N≈1022). Поскольку р(v)Δv — вероятность того, что первая попавшаяся молекула будет лететь со скоростью, находящейся в интервале Δv, то, по определению, ожидаемое число молекул <ΔN> со скоростью, находящейся в этом же интервале, будет равно
(6.21)
Поэтому Np(v) можно назвать «распределением молекул по скоростям». Площадь под кривой между двумя значениями скоростей v1 и v2 [заштрихованная область на фиг. 6.9 для кривой Np(v)] представляет ожидаемое число молекул со скоростями между v1 и v2. Но в газе, который содержит обычно огромное число молекул, отклонения от ожидаемого значения будут очень малы (порядка 1/√N), поэтому часто мы выбрасываем слово «ожидаемое» и говорим просто: «Число молекул со скоростями между v1 и v2 равно площади заштрихованного участка». Однако нужно все-таки помнить, что речь в таких случаях всегда идет о вероятном числе.
§ 5. Принцип неопределенности
Понятия вероятности оказались очень полезны при описании поведения газа, состоящего из огромного количества молекул. Немыслимо же в самом деле пытаться определить положение и скорость каждой из 1022 молекул! Когда впервые теория вероятности была применена к таким явлениям, то это рассматривалось просто как удобный способ работы в столь сложной обстановке. Однако теперь мы полагаем, что вероятность существенно необходима для описания различных атомных процессов. Согласно квантовой механике, этой математической теории малых частичек, при определении положения частички и ее скорости всегда существует некоторая неопределенность. В лучшем случае мы можем только сказать, что существует какая-то вероятность того, что частица находится вблизи точки х.
Для описания местоположения частицы можно ввести плотность вероятности p1(x), так что p1(x)Δx будет вероятностью того, что частица находится где-то между х и х+Δx. Если положение частицы установлено достаточно хорошо, то примерный вид функции p1(x) может иллюстрировать график, приведенный на фиг. 6.10, а.
Фиг. 6.10. Плотности вероятности координаты, (а) и скорости (b) частицы.
Точно такое же положение и со скоростью частицы: она тоже неизвестна нам точно. С некоторой вероятностью р2(v)Δv частица может двигаться со скоростью, находящейся в интервале между v и v+Δv.
Один из основных результатов квантовой механики состоит в том, что эти две плотности р1(х) и р2(v) не могут быть выбраны независимо в том смысле, что они обе не могут быть сколь угодно узкими. Если мы возьмем «полуширины» кривых p1(x) и р2(v) и обозначим их соответственно [Δx] и [Δv] (см. фиг. 6.10), то природа требует, чтобы произведение этих двух полуширин было не меньше величины h/m, где m — масса частицы, а h — некоторая фундаментальная физическая постоянная, называемая постоянной Планка. Это соотношение записывается следующим образом: