C + Vn+1 = n + 1 + Vn + K = (n + Vn) + (K + 1) = (An + 2) + (K + 1) = (An + K + 1) + 2 = An+1 + 2.
Так доказывается знаменитая формула Эйлера, которая звучит следующим образом: в любом выпуклом многограннике выполняется соотношение
С + V = A + 2.
Этот результат может показаться тривиальным, но если немного подумать, то мы увидим, что это соотношение поистине удивительно: оно выполняется для любого выпуклого многогранника независимо от формы его граней, углов на гранях и углов между гранями, от длин ребер и других параметров. Формула, которая выполняется для бесконечно большого числа разнообразных фигур, не может не привлекать внимание. Здесь что-то не так. Практически не существует формул, которые справедливы для столь непохожих фигур.
* * *
РАЗУМЕЕТСЯ, А = С + V — 2. МОЖНО ЛИ ВЫБРАТЬ С И V ПРОИЗВОЛЬНО?
В выпуклом многограннике С + V = А + 2, следовательно,
А = C + V — 2. (1)
Какие значения могут принимать С и V? Существуют ли какие-то ограничения? Может ли быть так, что С = 1000, а V = 2? Рассмотрим, каковы же ограничения на С и V.
Очевидно, что V > 4, так как многогранника, у которого меньше четырех вершин, не существует. В каждой вершине сходятся минимум три ребра, следовательно, 3V =< 2А, так как каждое ребро связывает две вершины. Следовательно, 3V =< 2С + 2V — 4, откуда следует
4 =< V =< 2С — 4. (2)
Также С > 4, так как чтобы ограничить часть пространства, требуется минимум четыре грани. Каждая грань должна иметь минимум три ребра, то есть 3С =< 2А = 2С + 2V — 4, откуда
4 =< С =< 2V — 4. (3)
Отношения (1), (2) и (3) соответствуют выпуклым многогранникам в пространстве. Простейшие примеры многогранников, у которых число граней С >= 4, — это пирамиды и бипирамиды. Многоугольник, число ребер которого равно 2К, и точка вне его образуют пирамиду, где С = 2К + 1. Для бипирамиды, которая получается, если совместить две такие пирамиды основаниями, С = 4К.
* * *
С помощью формулы Эйлера для выпуклых многогранников можно вычислить так называемую характеристику Эйлера — Пуанкаре:
Для сферы 
= 2. Если мы рассмотрим тор (поверхность вращения, получаемая вращением окружности вокруг оси, лежащей вне этой окружности), то получим = 0. Следовательно, в тороидальных многогранниках 0 = С + V — А. Родом поверхности
называется число отверстий в ней. Для сферы g = 0, следовательно, в тороидальных многогранниках g = 1. Итак, и g являются характеристиками поверхности, то есть число 2 в формуле С + V = А + 2 указывает на сферическую природу выпуклых многогранников. Для невыпуклых многогранников формула Эйлера не выполняется. В следующих разделах, где рассматриваются только выпуклые многогранники, мы подробно расскажем о следствиях формулы С + V = А + 2.
Теперь мы знаем ограничения на число граней С и число вершин V выпуклого многогранника. Число ребер А полностью зависит от С и V. Попробуем исключить А из формулы Эйлера.
Чтобы полностью исключить А, нужно «более явно» выразить формулу Эйлера через С и V, уточнив, что скрывается за этими числами.
В выпуклом многограннике Р с числом граней С и числом вершин V обозначим за Сn число граней, имеющих n ребер, Vn — число вершин, в которых сходятся n ребер. Можно записать следующую сумму ряда (конечного!):
С = С3 + С4 + С5 + С6 + … (1)
Также
V = V3 + V4 + V5 + V6 + … (2)