Если речь идет о конечных множествах, то отношение всегда задается множеством пар элементов. Отношения можно изображать в виде диаграмм или графов, вершины которых будут соответствовать элементам множества, ребра — отношениям между ними. Отношения, на основе которых можно сформировать классификацию, называются отношениями эквивалентности. Они обладают следующими свойствами:
— рефлексивностью (каждый элемент эквивалентен сам себе);
— симметричностью (если а связано с b, то b связано с а);
— транзитивностью (если а связано с b и b связано с с, то а связано с с).
Граф, включающий подобные отношения, должен наглядно отражать эти свойства.
Еще один тип отношений — это отношения порядка, которые используются для упорядочивания элементов и обладают свойствами рефлексивности, транзитивности и антисимметричности (если а связано с b и b связано с а, то а = Ь). Графы, соответствующие отношениям порядка на конечных множествах, могут быть ориентированными (дуги будут указывать, какой из двух соединенных ими элементов меньше) или неориентированными (в этом случае элементы будут расположены по порядку снизу вверх). Интерес также представляют иерархические процессы, в которых необходимо определять приоритеты и порядок выполнения определенных работ (инвестиции, строительство, предоставление коммунальных услуг и так далее). Во всех этих областях теория графов помогает понять проблему и упростить ее решение.
Глава 5
Живительные способы применения графов
Если люди отказываются верить в простоту математики, то это только потому, что они не понимают всей сложности жизни.
Джон фон Нейман
В этой книге мы уже рассказали о многих способах применения графов. В этой последней главе мы вкратце расскажем о том, где еще используются графы. Вы увидите, что они применяются не только в картах, маршрутах и генеалогических деревьях. Надеемся, что после прочтения этой главы в вас пробудится интерес к теории графов и вы продолжите изучать этот раздел математики самостоятельно.
Неоднократно говорилось, что название «каменный век» не совсем точно: было бы точнее говорить о «веревочном веке». Важно не то, что древние люди использовали камни в качестве инструментов, а то, что они догадались привязать камень к палке веревкой. В наше время благодаря интернету — «сети сетей», связывающей компьютеры и серверы по всему миру, стала возможной цифровая революция. Мощность компьютеров неуклонно возрастала (одновременно с уменьшением их размеров), но совершить гигантский скачок к цифровому миру удалось именно благодаря сетям. Графы и телекоммуникации всегда шли рука об руку.
Несмотря на то что человеческий гений создал первые абаки и легендарные счетные машины, нельзя было и предположить, что такие сложные дисциплины, как кибернетика и информатика, столь быстро ворвутся в сложный и запутанный мир коммуникаций. Этот огромный скачок был совершен очень быстро.
Компьютерные сети могут быть организованы множеством способов. Каждому из них соответствует определенный тип графа: цикл (вверху слева), звезда (вверху справа) или дерево (внизу).
На рисунке выше изображены различные схемы соединения компьютеров между собой. Каждый схеме соответствует граф (цикл, дерево, звезда и другие), поэтому применяется термин «сетевая топология».
Конфигурация сети влияет на ее производительность и функциональные возможности. Необходимо различать графы, соответствующие физическому расположению компьютеров и кабелей, и графы, представляющие собой схему обмена данными между компьютерами (Ethernet, Token Ring и другие), узлы и соединения. Мы находимся на первом этапе эволюции компьютерных систем, и невозможно предугадать, что ждет нас впереди.
Технология, которая изначально предназначалась для отправки электронной почты в военных целях, вышла на уровень университетов, а затем охватила всю планету. Появление глобальной сети и поисковых механизмов позволило проникнуть в этот сложный информационный мир, путь в котором нам указывают гиперссылки. Граф, образуемый гиперссылками, имеет невероятные размеры и постоянно увеличивается.