Представление свойств отношения эквивалентности в виде графов.
Так как отношение эквивалентности делает возможным классификацию элементов множества, можно построить схемы, подобные тем, что показаны на рисунке.
Классификация, связанная с отношением эквивалентности.
Если А — множество людей, a R — отношение «иметь одинаковый возраст», то при классификации элементов множества на основе этого отношения сформируются группы по возрасту. Если А — множество целых чисел, a R — такое отношение, что a R Ь, если а — Ь без остатка делится на два, то при классификации получатся группы четных и нечетных чисел.
Отношение порядка
Еще один тип отношений, неотъемлемых в математике, да и в жизни, — это отношения порядка, которые обладают следующими свойствами.
1. Рефлексивностью: a R а.
2. Антисимметричностью: если a R Ь и Ь R а, то должно выполняться а = Ь.
3. Транзитивностью: если a R b и b R с, то a R с.
Вместо «а R b», как правило, используется обозначение «а =< Ь», которое нам прекрасно знакомо применительно к числам (0 =< 1 =< 2 =< …). Следовательно, для каждого элемента имеет смысл рассматривать множество {Ь/а =< Ь} всех элементов, больших а, или множество {Ь/Ь =< а} всех элементов, меньших а. И снова с помощью графов можно представить элементы множества в виде вершин, соединить ребрами упорядоченные элементы и ввести критерий вертикальности («элемент, расположенный ниже, является меньшим»), горизонтальности («элемент, расположенный правее, является бóльшим») или использовать для указания упорядоченности ориентированные графы.
Наглядное представление упорядоченности.
На следующем рисунке стрелками, обозначающими «включен в», указана упорядоченность частей множества из трех элементов {а, Ь, с}.
Граф включения множеств.
Генеалогические деревья — пример отношения упорядоченности между людьми. На генеалогическом дереве родственные связи можно представить стрелками, но обычно их выражают посредством критериев горизонтальности или вертикальности.
Отображения
Еще одним базовым обозначением теории множеств является отображение f: А —> В, где элементам а множества А присваивается единственный элемент b = f (а) множества В. График функции f определяется как
Это множество можно представить на множестве А x В.
График функции f(x) = х2 (парабола).
График функции целой части числа для положительных вещественных чисел.
Температура тела человека.
* * *
ЖОРЖ ПЕРЕК И ЕГО «ДУМАТЬ/КЛАССИФИЦИРОВАТЬ»
Блестящий интеллектуал Жорж Перек в период с 1976 по 1982 год опубликовал множество сюрреалистических статей критического содержания. Две наиболее выдающихся среди этих статей носили названия «Думать/классифицировать» и «Краткие заметки об искусстве и способе расставлять книги». В них Перек показывает, как сложно классифицировать людей или вещи, расставить по порядку книги и так далее. Например, он демонстрирует чрезвычайную сложность составления «упорядоченной» библиотеки, так как книги можно расставить в алфавитном порядке по фамилиям их авторов, по цвету обложек, переплету, дате покупки, дате публикации, формату, жанру, языку… Сложные ситуации всегда возникают и в теории, и на практике.
* * *
Графические калькуляторы и современные компьютерные программы позволяют отобразить графики функций. Однако во многих случаях эти графики оказываются лишь приближенными.
В двух первых примерах, приведенных выше, можно построить график четко заданных функций, но в третьем примере представление сводится к графу из точек, изображающему немногочисленные данные о температуре тела человека. Как экстраполировать значения температуры между точками, для которых имеются данные измерений? Очевидно, точки можно соединить прямыми, но возможны и другие варианты.