В мире данных, полученных эмпирически, очень часто используются графы с конечным числом вершин (x1, y1), …, (хn, уn). Изучение графиков, проходящих через эти точки, или же их аппроксимация представляет большой интерес с точки зрения статистики, особенно при анализе возможных связей между значениями одной переменной x1…., хn и другой переменной у1…, уn.
Отображения, связывающие элементы двух конечных множеств А и В, обычно представляют сочетанием графов и диаграмм Венна.
Графическое представление отображения f, связывающего множества {a, b, с, d} и {1, 2, 3, 4}.
Если разным элементам одного множества сопоставлены разные элементы другого множества, то такое отображение называют инъективным. Если каждому элементу области значений сопоставлен хотя бы один элемент области определения, то такое отображение называется сюръективным. Если отображение является одновременно инъективным и сюръективным, то есть между элементами обоих множеств (области определения и области значений) существует взаимно однозначное соответствие, такое отображение называется биективным. На следующих графах представлены эти виды отображений.
Инъективное отображение.
Сюръективное отображение.
Биективное отображение.
Чтобы найти все возможные отображения конечного множества А на множество В, будет полезно использовать графы, которые являются деревьями.
Дерево возможных отображений множества A = {a, b} на множество B = {1, 2, 3, 4}.
Если даны два отображения — отображение f множества А на множество В и отображение g множества В на множество С, то имеет смысл говорить о композиции отображений f и g множества А на множество С, то есть о присвоении каждому элементу а множества А элемента g (f(а)) множества С. Композиции отображений g и f обозначается как g о f. Ее можно представить в виде графов следующего вида.
Граф композиции отображений q и f.
Нечеткие множества и графы
В последние десятилетия в целях моделирования сложных ситуаций реальной жизни все шире применяется теория нечетких множеств, созданная инженером Калифорнийского университета в Беркли Лотфи Заде. В классической трактовке элемент а либо принадлежит множеству А, либо нет. Следовательно, множество определяется характеристической функцией: она принимает значение 1 для элементов, принадлежащих A, и 0 для элементов, не принадлежащих A.
Идея Заде состояла в том, чтобы расширить характеристические функции и создать нечеткие множества, то есть определить функции, которые ставят в соответствие элементам x универсального множества X значения f(х) в интервале от 0 до 1. В такой трактовке f(х) определяет степень принадлежности х к А.
Нечеткие множества, соответствующие утверждению «результат примерно равен 1».
* * *
ЖУРНАЛЫ О ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ, КОМБИНАТОРИКЕ И ГРАФАХ
Ниже перечислены ведущие современные журналы по этим темам.
· Ars Combinatorica.
· European Journal of Combinatorics.
· Combinatorica.
· Geombinatorics.
· Combinatorics, Probability and Computing.
· Journal of Algebraic Combinatorics.
· Designs, Codes and Cryptology.
· Journal of Combinatorial Theory. Series A.
· Discrete and Computational Geometry.
· Journal of Combinatorial Theory. Series B.