Очень известный пример подобной симметрии — «Аллилуйя» из оратории «Мессия» Георга Фридриха Генделя (1685–1759).
Аналогичную симметрию можно увидеть в начале известной композиции I've got Rhythm гениального американского композитора Джорджа Гершвина (1898–1937):
* * *
АМБИГРАММЫ
Симметрия цифр и букв проявляется в словах-палиндромах и числах-палиндромах. Менее известны амбиграммы — слова, написанные так, что при определенном преобразовании (отражении, повороте и т. д.) получается это же или другое слово. На рисунке изображена амбиграмма «Моцарт», автором которой является американец Скоп Ким.
* * *
Отражение относительно горизонтальной оси: инверсия
Рассмотрим инверсию простой мелодии, отраженной горизонтально относительно оси, проходящей через линию ре:
Из следующего рисунка сразу же становится понятно, что при одновременном исполнении двух этих мелодий на пианино нужно нажимать клавиши, симметричные относительно клавиши ре:
Габриэль Форе в своем Messe basse: Agnus Dei в качестве основного приема использует отражение относительно горизонтальной оси. Две первые восьмые ноты начальных тактов отражаются, завершая такт:
В этом фрагменте из Струнного квартета соль минор, соч. 10 французского композитора Клода Дебюсси (1862–1918) первая скрипка и виола в каждый момент времени исполняют противоположные ноты:
В припеве Samba de Uma Nota Só («Самбы одной ноты») бразильского композитора Антонио Карлоса Жобина (1927–1994) второй такт получается из первого поворотом на 180°:
Двадцать четыре каприса для скрипки, написанные итальянским скрипачом и композитором Никколо Паганини (1782–1840), вдохновили многих композиторов на создание различных вариаций, самыми известными из которых являются композиции Сергея Рахманинова (1873–1943). В частности, Рахманинов написал мелодию, симметричную капрису № 24:
В некоторых случаях, как, например, в шестой из «Шести мелодий в унисон» из цикла фортепианных пьес «Микрокосмос» Белы Бартока (1881–1943) наблюдается симметрия звуков по высоте, но не по длительности. Ось симметрии проходит через первую ноту (до) второго нотоносца, выделенную пунктирной линией.
В последнем примере партитура для каждой руки симметрична относительно начальной ноты си-бемоль:
Повороты
Напомним, что поворот на 180° эквивалентен ракоходной инверсии. Применительно к музыке имеет смысл рассматривать только поворот на 180°, так как поворот на 90° не будет иметь смысла, что показано на следующем рисунке:
Точно так же, как и в геометрии, поворот на 180° можно представить как двойную инверсию: по горизонтали и по вертикали:
Гений Вольфганга Амадея Моцарта (1756–1791) проявился особенно ярко в не самом известном его произведении. Это канон для двух скрипок, состоящий из двух мелодий, повернутых друг относительно друга на 180°. Если мы представим поворот как двойное отражение, то увидим, что Моцарт неспроста расположил горизонтальную ось симметрии на линии си: благодаря этому композицию можно записать на одном нотном стане и на одной мелодической линии. При исполнении этого произведения музыканты становятся лицом друг к другу, расположив партитуру между собой. Оба смогут прочитать партитуру благодаря тому, что ключ соль расположен и в начале, и в конце нотного стана. Таким образом, при инверсии страницы нота соль становится нотой ре, ля — до и так далее. Единственной неизменной нотой остается си:
В «Зеркале» Моцарта два скрипача могут читать одну и ту же партитуру в противоположных направлениях, находясь друг напротив друга.
Австрийский композитор Антон Веберн (1883–1945) — одна из ключевых фигур в додекафонической музыке — основном направлении академической музыки начала XX века. В своем Струнном квартете, соч. 28 Веберн определяет исходную серию звуков, на которой затем устанавливаются интервалы. В этом произведении можно увидеть основную мелодию, ее инверсию и ракоход. Кроме того, в центре расположена ось симметрии, отделяющая исходную фигуру от ее ракоходной инверсии.