Ряд из 12 звуков Струнного квартета, ор. 28 Антона Веберна. Числа обозначают число полутонов в каждом интервале. Стрелки указывают, восходящим или нисходящим является данный интервал.
Комбинации преобразований
Вышеперечисленные преобразования причудливым образом сочетаются во множестве музыкальных произведений разных эпох. Они образуют широкий спектр музыкальных средств, которые отличаются огромным разнообразием, так как может изменяться расположение оси симметрии при отражении, расстояние в интервалах при вертикальном переносе и смещение при горизонтальном переносе, например смещение голосов канона.
Изначальная идея канона — имитация одного голоса с помощью последующего голоса или голосов — была дополнена другими видами имитации, в которых оригинальными способами применялись симметрия и ракоходы.
Горизонтальный и вертикальный перенос: интервальные каноны
Из определения канона следует, что второй голос горизонтально смещен относительно первого. Если к этому горизонтальному смещению добавить вертикальный перенос, то получится так называемый интервальный канон, в котором второй голос начинается не с той же ноты, что ведущий голос. Это приводит к изменению тонов и полутонов. Такое изменение называется тональным ответом. Расстояние, на которое смещен второй голос относительно первого, можно использовать в качестве признака классификации канонов. Так, оба голоса могут вступать в унисон (одновременно), второй может быть смещен на секунду, терцию и так далее.
Вертикальный перенос и отражение относительно вертикальной оси: ракоходный перенос
При такой комбинации преобразований исходная мелодия транспонируется, а затем заменяется ракоходом.
Вертикальный перенос и отражение относительно горизонтальной оси: инвертированная транспозиция
Для выполнения этой комбинации преобразований необходима транспозиция мелодии на новую начальную ноту с последующим инвертированием мелодии. Однако эти два преобразования можно свести к одному путем правильного выбора оси симметрии.
На этом примере показана комбинация вертикального переноса со смещением относительно горизонтальной оси (соответствует линии ноты си).
Тот же результат, что и на предыдущей иллюстрации, но полученный одним преобразованием — отражением относительно оси, соответствующей ноте соль.
В хорале «Агнец» (The Lamb) современного английского композитора Джона Тавенера, написавшего его для своего трехлетнего племянника, сочетаются некоторые из вышеописанных преобразований. Это произведение обладает множественной симметрией: исходная мелодия первого такта повторяется во втором (горизонтальный перенос), одновременно с этим вступает второй голос, который представляет собой инверсию исходной мелодии, полученную симметричным отображением относительно горизонтальной оси. Ось симметрии соответствует ноте соль. Третий такт содержит новую мелодию, в четвертом такте происходит ракоход этой мелодии (ее симметричное отражение относительно вертикальной оси). В пятом и шестом тактах повторяется мелодия третьего и четвертого тактов, которую дополняет второй голос — симметрично отображенная относительно горизонтальной оси мелодия пятого и шестого тактов. Следовательно, мелодия шестого такта для второго голоса — это поворот четвертого такта основного голоса на 180°.
Хотя интервалы между любыми двумя нотами мелодии строго соблюдаются, из эстетических соображений композитор изменил длительность последней ноты каждой музыкальной фразы. Однако это не нарушает симметрию, так как мелодическая линия, которую мысленно рисует композитор, зависит от порядка исполнения звуков, а не от диезов и бемолей.
* * *
ПЕЧАТЬ БАХА
Иоганн Себастьян Бах создал собственную идеально симметричную печать. В ней сочетаются три символа: корона, символизирующая Бога, инициалы композитора — JSB, и их зеркальное отображение. Сочетание симметрично отраженной J и исходной буквы S образует греческую букву