Серию также можно представить в числовом виде, что упрощает запись мелодии. При записи серий в числовом виде, как правило, выбирается исходная нота. В следующем примере исходной нотой является ми, которой присвоено значение 0. Далее последовательно нумеруются полутона: фа обозначается 1, фа диез — 2, соль — 3 и так далее.
При представлении серии в числовом виде для нахождения связанных серий можно использовать средства арифметики. Например, транспозиция серии получается прибавлением одного и того же числа k к каждому элементу серии:
Tk(s1, s2, …, s12) —> (s1 + k, s2 + k, …, s12 + k),
T0(0, 1, 3, 9, 2, 11, 4, 10, 7, 8, 5, 6) —> (0, 1, 3, 9, 2, 11, 4, 10, 7, 8, 5, 6),
T1(0, 1, 3, 9, 2, 11, 4, 10, 7, 8, 5, 6) —> (1, 2, 4, 10, 3, 0, 3, 11, 8, 9, 6, 7),
T2(0, 1, 3, 9, 2, 11, 4, 10, 7, 8, 5, 6) —> (2, 3, 5, 11, 4, 1, 6, 0, 9, 10, 7, 8),
…
T7(0, 1, 3, 9, 2, 11, 4, 10, 7, 8, 5, 6) —> (7, 8, 10, 4, 9, 6, 11, 3, 2, 3, 0,1),
…
T12(0, 1, 3, 9, 2, 11, 4, 10, 7, 8, 5, 6) —> (11, 0, 2, 8, 1, 10, 3, 9, 6, 7, 4, 5).
После 11 счет снова начинается с 0, точно так же как мы считаем часы: 8 часов утра плюс 7 часов равно 3 часам дня. В математике подобные операции на ограниченных множествах чисел называются модулярной арифметикой. В случае с додекафоническими сериями множество чисел имеет всего 12 элементов в интервале от 0 до 11. Число элементов множества называется модулем (в нашем случае модуль равен 12). В арифметике по модулю 12 число 13 эквивалентно числу 1. Записывается это так:
13 
1 (mod 12).
Все числа вида 12k + 1, где k — целое, эквивалентны 1:
25 1 (mod 12),
37 1 (mod 12),
49 1 (mod 12),
61 1 (mod 12),
Как мы уже говорили, в додекафонии не проводятся различия между одинаковыми нотами, которые относятся к разным октавам. Арифметика по модулю 12 отражает этот факт: число 1, которым в нашем примере обозначена нота фа, равно 13, которым снова обозначается фа.
Средства модульной арифметики помогают заметить, что инверсия серии эквивалентна замене всех значений от 0 до 11 (то есть значений всех различных нот) разницей между этим значением и 12. При таком преобразовании значение 1 заменится на 11, 2 — на 10, 3 — на 9 и так далее. Для серии, которую мы рассматривали
в качестве примера, получим:
I(s1, s2, ...,s12) —> (s1, 12 — s2,…, 12 — s12)
I(0,1, 3, 9, 2, 11, 4, 10, 7, 8, 5, 6) —> (0, 11, 9, 3, 10, 1, 8, 2, 5, 4, 7, 6).
Ракоход, в свою очередь, получается «обращением» числового ряда слева направо:
R(s1, s2, ..., s12) —> (s12, s11, ..., s1)
R(0, 1, 3, 9, 2, 11, 4, 10, 7, 8, 5, 6) —> (6, 5, 8, 7, 10, 4, 11, 2, 9, 3, 1, 0).
Исходная серия вкупе с ее инверсией, ракоходом и с 12 возможными транспозициями для каждого из этих преобразований формирует 4·12 = 48 перестановок, которые может использовать композитор. Если учитывать повороты, то число вариантов возрастет до 48·12 = 576.
Эти 48 форм можно записать в виде матрицы размером 12 x 12, опираясь на следующие правила:
— в первой строке T0 записывается исходная серия (в нашем примере выделена жирным шрифтом);
— в первом столбце I0 записывается инверсия серии (также выделена жирным);
— в каждой из оставшихся ячеек записывается сумма (по модулю 12) чисел, с которых начинаются соответствующая строка и столбец. Например, пятая строка начинается с числа 10, четвертый столбец с числа 9, следовательно, на пересечении этой строки и этого столбца необходимо записать число 7, так как 10 + 9 = 19 7 (mod 12).
12 строк матрицы будут содержать исходную серию со всеми возможными транспозициями, 12 столбцов — инверсию исходной серии со всеми возможными транспозициями. Ракоходы этих 24 серий можно получить, если изменить направление обхода матрицы: строки нужно читать справа налево, столбцы — снизу вверх.