Число возможных композиций
Каково число различных композиций в этой игре? Первый такт можно выбрать 11 способами — по числу возможных очков (от 2 до 12), выпавших при броске двух игральных костей. Для каждого первого такта второй такт можно выбрать также 11 способами. Всего первые два такта можно выбрать 11·11 = 112 = 121 различным способом.
Для каждой пары первых двух тактов третий такт можно выбрать И способами. Таким образом, общее число возможных сочетаний первых трех тактов равно 112·11 = 113 = 1331.
* * *
УЛИПО
Комбинаторный метод, похожий на тот, что изложен выше, использовал в XX веке французский писатель Раймон Кено (1903–1976), который вместе с математиком Франсуа Ле Лионне в 1960 году основал УЛИПО (фр. OULIPO, сокращение от Ouvroir de littérature potentielle — цех потенциальной литературы). Его произведение Cent mille milliards de poémes («Сто тысяч миллиардов стихотворений») состоит из десяти сонетов, каждая из четырнадцати строк которых может сочетаться с любой другой строкой любого другого сонета. Так, существует 10 вариантов выбора первой строки, 10 — второй и так далее. Таким образом, общее число сонетов равно 1014 — название этого числа и вынесено в заглавие произведения.
* * *
С каждым новым тактом менуэта общее число возможных композиций увеличивается в 11 раз, с каждым тактом трио — в 6 раз. Общее число «произведений» В этой игре равно 116·616 = 129629238163050258624287932416 ~= 1,3·1029. Если бы кто-то решил исполнить их все подряд, одно за другим, без перерывов, тратя на исполнение каждого 30 секунд, то ему понадобилось бы свыше 123 000 триллионов лет.
Любопытно, что с точки зрения теории вероятностей игра плохо подходит для создания разнообразных композиций. При броске двух костей число возможных очков лежит в интервале от 2 до 12, но вероятность выпадения разных чисел отличается: 7 можно выбросить шестью способами, а 2 и 12 — всего одним, как можно увидеть из следующей таблицы:
При изучении искусства композиции часто используется следующий метод: ученик должен написать произведение в стиле одного из великих композиторов: фугу в стиле Баха, сонату в стиле Бетховена или прелюдию в стиле Дебюсси.
Рассмотрим в качестве примера творчество Бетховена. При копировании его стиля ученик должен использовать различные приемы, чтобы созданная им композиция «звучала, как бетховенская». В чем же заключается стиль Бетховена? Можно перечислить несколько примеров: это и музыкальная форма, и исполнение мелодии при использовании более или менее широких мелодических интервалов, включение пауз и динамических контрастов.
Каждое музыкальное измерение определенного стиля можно проанализировать с помощью статистических методов. Например, если мы хотим изучить тематические мотивы сонат Бетховена, можно проанализировать ширину выбранного регистра, то есть интервал между самой низкой и самой высокой нотой. Статистика покажет, в каких из этих мотивов ширина регистра равна 1 полутону, 2, 3 и так далее. (Кстати, интересно узнать минимальную ширину интервала, использованную Бетховеном, то есть первый ненулевой член этой числовой последовательности.) Похожая статистика поможет проанализировать любой другой параметр.
Хотя с помощью методов статистики можно получить общее представление о композиции, в нем не будет учитываться контекст: при копировании стиля распределение нот, возможно, будет не столь важно (информация о том, сколько нот до содержится в произведении, будет абсолютно бесполезной, если мы запишем все эти ноты подряд в самом начале нашей композиции). Важно знать не то, сколько раз используется каждая нота по отдельности, а то, как связаны ноты между собой.
Решить эту задачу нам помогут цепи Маркова. Суть их использования заключается в следующем. С помощью методов статистики мы изучаем порядок следования различных «состояний» системы. Применительно к созданию мелодий цепи Маркова позволяют воспроизвести закономерности, которые указывают, как определенные последовательности нот влияют на звучащие в дальнейшем ноты.