Похожи на них задачи с обратной пропорциональностью. Два каменщика строят стену за 12 дней. Сколько дней понадобится на постройку стены пяти каменщикам?
2 человека ___ 12 дней
5 человек ____ х дней.
Задача решается следующим образом:
2/5 = х/12
2∙12 = 5х
5х/5 = 2∙12/5
х = 2∙12/5 = 4,80 дня = 4 дня 19 часов 12 минут.
Второй вариант использования правила пропорции.
Наконец, правило пропорции применимо и для решения более сложных задач: если 40 маляров, работая по 8 часов в день, красят 320 метров забора за 10 дней, то за сколько дней 55 маляров покрасят 440 метров такого же забора, если будут работать по 6 часов в день?
Задача решается следующим образом:
10/х = 55/40∙6/8∙320/440
х = 10∙440/320∙8/6∙40/55 = 13,3 дня = 13 дней 8 часов.
Греческая буква Σ (заглавная сигма) очень часто используется в математических формулах экономической теории и обозначает сумму слагаемых. Например, для обозначения суммы x1 + х2 + х3 + х4 можно использовать выражение Σ 4i=1 xi
Знак Σ перед хi означает, что нужно сложить все значения х. Числа, указанные под буквой Σ и над ней, обозначают границы суммы, то есть наибольшее и наименьшее значение индекса, которое используется при сложении.
Сумма Σ 6k=3 xk означает х3 + х4 + х5 + х6,
Cумма Σ nj=m xj означает хm + хm+1 … + хn-1 + хn.
Индексы могут принимать только целые значения, а нижний индекс может быть обозначен любой буквой.
Так, Σ mi=1 xi = Σ mj=1 xj = Σ mk=1 xk
Член, следующий за буквой Σ, называется слагаемым. В выражении Σ mk=1 xk слагаемыми являются хk.
* * *
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Уравнение — это математическое равенство с одной или несколькими неизвестными величинами.
Уравнение обращается в верное равенство лишь при определенных значениях этих неизвестных. Неизвестная в уравнениях может быть возведена в квадрат или в куб.
Например, х + 12 = 25 — Зх — уравнение первой степени, 12 + х2 — 6х = 3 — уравнение второй степени, 9 — Зх2 — 6х3 = -12 — уравнение третьей степени.
В XIII веке Леонардо Пизанский решал задачи, подобные следующей: у ювелира есть золото 975-й пробы и золото 750-й пробы, и он хочет получить слиток золота 900-й пробы весом в два килограмма.
Сколько золота каждой пробы потребуется для этого? Эта задача решается так:
х кг вес золота 975-й пробы
(2 — х) кг вес золота 750-й пробы
х∙0,975 + (2 — х)∙0,750 = 2∙0,900
х∙0,975 + 2 0,750 — 0,750∙х = 1,800
х∙0,975 — 0,750х = 1,800 — 2∙0,750
х∙0,225 = 1,800 — 1,500
х∙0,225 = 0,300
х = 0,300/0,225 = 4/3 = 1 1/3 кг золота 975-й пробы
(2 — х) = 2 – 1 1/3 = 2/3 кг золота 750-й пробы.
Фибоначчи также сформулировал и решил задачи, описываемые уравнениями второй степени, подобные следующей: площадь прямоугольного поля равна 2400 м2 Известно, что его длина на 20 м больше ширины. Вычислите размеры поля. Таким образом, произведение ширины (х) на длину (х + 20) равно 2400 м2. Стандартное уравнение второй степени выглядит так: ах2 + Ьх + с = 0. Значение неизвестной х можно вычислить по формуле:
В этом случае:
х∙(х + 20) = 2400; х2 + 20х = 2400; х2 + 20х — 2400 = 0.
Таким образом, поле имеет размеры 40 х 60 м.
Неравенства похожи на уравнения, однако вместо знака равенства (-) содержат один из четырех возможных знаков неравенства:
<= «меньше либо равно»
< «меньше» (строго)
>= «больше либо равно»
> «больше» (строго).
Неравенству с одной переменной х — 7 > 13 удовлетворяют все числа, которые при уменьшении на 7 равняются 13 или более. Неравенства решаются по схожему алгоритму. Пример: