Всего можно составить четыре различные группы. Так, если в качестве четырех исходных элементов мы рассмотрим буквы А, В, С, D, то искомыми четырьмя сочетаниями будут AВС, ABD, ACD, BCD. Существуют другие типы группировки объектов, которые широко используются в дискретной математике, к ним относятся размещения и перестановки.
Размещение из n объектов по m Anm определяется так: две группы считаются различными, если они отличаются хотя бы одним элементом или же их элементы расположены в разном порядке. Все возможные размещения из четырех элементов (р, q, r, s) по 3 таковы:
pqr, pqs, prq, psq, prs, psr,
qrp, qpr, qps, qsp, qrs, qsr,
rps, rsp, rpq, rqp, rsq, rqs,
spq, sqp, sqr, srq, spr, srp.
Число размещений вычисляется по формуле Anm = m∙(m — 1)∙(m — 2)…(m — n + 1). В нашем случае число размещений равно
V34 = 4(4—1) … (4 — 3 + 1) = 4∙3∙2 = 24.
Перестановки — это размещения, содержащие все исходные элементы, то есть размещения при m = n. Перестановками из трех элементов (М, N, Р) являются размещения из 3 по 3. Все возможные перестановки таковы: MNP, MPN, NMP, NPM, PMN, PNM. Число перестановок вычисляется по формуле
Рn = n(n — 1)(n — 2)…(n — n + 1) = n(n — 1)(n — 2)…3∙2∙1 = n!
В нашем случае Р3 = 3(3 — 1)(3 — 2) = 3! = 6.
* * *
Вероятность того, что произойдет одно или несколько возможных событий, равняется сумме вероятностей отдельных событий, если они являются независимыми (то есть не могут произойти одновременно).
В нашем примере вероятность того, что шесть опрошенных используют определенное чистящее средство, равна
Использовав эту формулу, рассчитаем с помощью Excel таблицу значений от РВ(1)до РВ(12).
Распределение вероятностей передается графически двумя способами: справа оно представлено на гистограмме, слева — с помощью графика непрерывной функции
Искомая вероятность того, что рассматриваемую марку средства используют от 6 до 9 опрошенных, равна
РВ (6 < х < 9) = РВ (6) + РВ (7) + РВ (8) + РВ (9) =
= 0,0468708102 + 0,0141155039+ 0,0030996943 + 0,0004840363 = 0,0645700627 = 6,46 %
Средняя величина и среднеквадратическое отклонение для биномиального распределения рассчитываются по формулам:
среднее = μ = n∙p; среднеквадратическое отклонение = σ = 
В нашем случае
среднее μ = р = 12∙0,24 = 2,88; среднеквадратическое отклонение = σ = 
= 1,479.
Биномиальное распределение — это распределение вероятностей, график которого при больших объемах выборки стремится к графику нормального распределения.
Кривая биномиального распределения слегка асимметрична по сравнению с кривой нормального распределения, которая полностью симметрична.
Слева — графики, описывающие три нормальных распределения с одинаковой средней μ и среднеквадратическим отклонением σ = 1; σ = 2; σ = 3. Справа — графики, описывающие три нормальных распределения с одинаковым среднеквадратическим отклонением σ = 1 передними μ1, μ2, μ3, μ4.
Статистики и экономисты должны уметь работать с широким спектром распределений вероятности. Каждой конкретной ситуации, в которой встречаются случайные величины (переменные, значения которых невозможно спрогнозировать), соответствует определенное распределение вероятностей (функция распределения).
Некоторые распределения вероятностей описывают экономические и социальные явления. Ситуации, когда изучаемая переменная является дискретной (принимает только целые значения или значения «да»/«нет»), адекватно описываются биномиальным распределением. При непрерывных переменных во многих случаях применяется нормальное распределение, или кривая Гаусса.