(2.12)
(где S в любой системе координат одно и то же), то три числа B1, B2, В3 обязаны быть компонентами Вх, Ву, Вz некоторого вектора В.
Рассмотрим теперь температурное поле. Возьмем две точки P1 и Р2, разделенные маленьким расстоянием ΔR. Температура в Р1 есть T1, а в Р2 она равна T2, и их разница ΔТ=Т2-Т1. Температура в этих реальных физических точках, конечно, не зависит от того, какие оси мы выбрали для измерения координат. В частности, ΔT — тоже число, не зависящее от системы координат. Это скаляр.
Выбрав удобную систему координат, мы можем написать
где Δx, Δy, Δz — компоненты вектора ΔR (фиг. 2.5).
Фиг. 2.5. Вектор ΔR с компонентами Δх, Δу, Δz.
Вспомнив (2.7), напишем
(2.13)
Слева в (2.13) стоит скаляр, а справа — сумма трех произведений каких-то чисел на Δx, Δy, Δz, которые являются компонентами вектора. Значит, три числа
тоже х-, у- и z-компоненты вектора. Мы напишем этот новый вектор при помощи символа ∇Т. Символ ∇ (называемый набла) — это Δ вверх ногами; он напоминает нам о дифференцировании. Читают ∇T по-разному: «набла T», или «градиент T», или «gradT»:
[4] (2.14)
С этим обозначением (2.13) переписывается в более компактной форме
(2.15)
Или, выражая словами: разница температур в двух близких точках есть скалярное произведение градиента Т на вектор смещения второй точки относительно первой. Форма (2.15) также служит иллюстрацией к нашему утверждению, что ∇Т — действительно вектор.
Быть может, вы еще не убеждены? Тогда докажем иначе. (Хотя, вглядевшись внимательно, вы увидите, что это на самом деле то же самое доказательство, только подлиннее!) Мы покажем, что компоненты ∇Т преобразуются абсолютно так же, как и компоненты R, а значит, ∇Т — тоже вектор в соответствии с первоначальным определением вектора в вып. 1, гл. 11. Мы выберем новую систему координат х', у', z' и в ней вычислим ∂T/∂x', ∂T/∂y', ∂T/∂z'. Для простоты положим z=z', так что о третьей координате мы можем позабыть. (Можете сами заняться проверкой более общего случая.)
Выберем систему х', у', повернутую относительно х, y-системы на угол θ (фиг. 2.6, а).
Фиг. 2.6. Переход к повернутой системе координат (а) и частный случай интервала ΔR, параллельного к оси х (б).
Координаты точки (х, у) в штрихованной системе имеют вид
(2.16)
(2.17)
или, решая относительно x и y,
(2.18)
(2.19)
Если всякая пара чисел преобразуется так же, как x и y, то она является компонентами вектора.
Рассмотрим теперь разницу в температурах двух соседних точек Р1 и Р2 (фиг. 2.6, б). В координатах х, у запишем
(2.20)
так как Δу=0.
А в штрихованной системе? Там мы бы написали
(2.21)
Глядя на фиг. 2.6, б, мы видим, что
(2.22)
и
(2.23)
так как Δy отрицательно при положительном Δx. Подставляя в (2.21), получаем
(2.24)
(2.25)
Сравнивая (2.25) с (2.20), мы видим, что
(2.26)
Это уравнение говорит нам, что ∂T/∂x получается из ∂T/∂x' и ∂T/∂y' в точности так же, как х из х' и у' в (2.18). Значит, ∂T/∂x — это x-компонента вектора. Сходные же рассуждения показывают, что ∂T/∂y и ∂T/∂z суть у- и z-компоненты. Стало быть, ∇Т есть на самом деле вектор. Это векторное поле, образованное из скалярного поля Т.
§ 4. Оператор ∇
А сейчас мы проделаем крайне занятную и остроумную вещь — одну из тех, которые так украшают математику. Доказательство того, что gradТ, или ∇T является вектором, не зависит от того, какое скалярное поле мы дифференцируем. Все доводы остались бы в силе, если бы Т было заменено любым скалярным полем. А поскольку уравнения преобразований одинаковы независимо от того, что дифференцируется, то можно Т убрать и уравнение (2.26) заменить операторным уравнением
4
В наших обозначениях выражение (а, b, с) представляет вектор с компонентами а, b, с. Если вам нравится пользоваться единичными векторами i, j и k, то можно написать
