Ну а теперь мы увидим, что эта задача с помощью дифференциальных уравнений решается совсем просто. Конечно, дифференциальные уравнения затуманивают физическую причину возникновения преломления (как результата интерференции вновь излученных волн с первоначальными), но зато они упрощают теорию плотного материала. В этой главе сойдется вместе многое из того, что мы делали уже раньше. Практически мы уже получили все, что нам потребуется, так что по-настоящему новых идей в этой главе будет сравнительно немного. Поскольку вам может понадобиться освежить в памяти то, с чем мы здесь столкнемся, то в табл. 32.1 приводится список уравнений, которые я собираюсь использовать вместе со ссылкой на те места, где их можно найти. Во многих случаях из-за нехватки времени я не смогу снова останавливаться на физических аргументах, а сразу же буду браться за уравнения.
Таблица 32.1. ЧТО БУДЕТ ИСПОЛЬЗОВАНО В ЭТОЙ ГЛАВЕ
Начну с напоминания о механизме преломления в газе. Мы предполагаем, что в единице объема газа находится N частиц и каждая из них ведет себя как гармонический осциллятор. Мы пользуемся моделью атома или молекулы, к которой электрон привязан силой, пропорциональной его перемещению (как будто он удерживается пружинкой). Отметим, что такая модель атома с классической точки зрения незаконна, однако позднее будет показано, что правильная квантовомеханическая теория дает (в простейших случаях) эквивалентный результат. В наших прежних рассмотрениях мы не учитывали «тормозящей» силы в атомном осцилляторе, а сейчас это будет сделано. Такая сила соответствует сопротивлению при движении, т. е. она пропорциональна скорости электрона. Уравнением движения при этом будет
(32.1)
где х — перемещение, параллельное направлению поля Е. (Осциллятор предполагается изотропным, т. е. восстанавливающая сила одинакова во всех направлениях. Кроме того, на время мы ограничимся линейно поляризованной волной, так что поле Е не меняет своего направления.) Если действующее на атом электрическое поле изменяется со временем синусоидально, то мы пишем.
(32.2)
С той же самой частотой будет осциллировать и перемещение, поэтому можно считать
Подставляя .х=iωх и ..х=-ω2х, можно выразить х через Е:
(32.3)
А зная перемещение, можно вычислить ускорение ..х и найти ответственную за преломление излученную волну. Именно таким способом в гл. 31 (вып. 3) мы подсчитывали показатель преломления.
Теперь же мы пойдем другим путем. Индуцированный дипольный момент атома р равен qex, или в силу уравнения (32.3)
(32.4)
Так как р пропорционально Е, то мы пишем
(32.5)
где α — атомная поляризуемость[43]:
(32.6)
Подобный же ответ для движения электронов в атоме дает и квантовая механика, но с учетом следующих особенностей. У атомов есть несколько собственных частот, каждая из которых имеет свою диссипативную постоянную γ. Кроме того, каждая гармоника имеет еще свою эффективную «силу», выражаемую в виде произведения поляризуемости при данной частоте на постоянную связи f, которая, как ожидается, по порядку величины равна единице. Обозначая каждый из трех параметров ω0, γ и f для каждой из гармоник через ω0k, γk и fk и суммируя по всем гармоникам, мы вместо (32.6) получаем
(32.7)
Если число атомов в единице объема вещества равно N, то поляризация Р будет просто Np=ε0NαE, т. е. пропорциональна Е:
(32.8)
Другими словами, когда на материал действует синусоидальное электрическое поле, оно индуцирует пропорциональный себе дипольный момент, причем константа пропорциональности α, как мы уже отмечали, зависит от частоты. При очень больших частотах α мала: реакция материала слабая. А вот при низких частотах реакция может быть очень сильной. Константа пропорциональности, кроме того, еще оказывается комплексной, т. е. поляризация не следует точно за всеми изменениями электрического поля, а в какой-то степени может быть сдвинута по фазе. Во всяком случае, электрическое поле вызывает в материале поляризацию, пропорциональную его напряженности.
43
Всюду в этой главе мы будем пользоваться обозначениями, принятыми в гл. 31 (вып. 3); пусть α — атомная поляризуемость, как это определено здесь. В предыдущей главе мы пользовались буквой α для обозначения объемной поляризуемости, т. е. отношения Р к Е. Но в обозначениях этой главы P=Nαε0E [см. выражение (32.8)].