(32.39)
В этой формуле поле Е считается постоянным, так что скорость vдрейф тоже постоянна. Поскольку в среднем ускорение отсутствует, сила торможения равна приложенной силе. Мы определили γ через силу торможения, равную γmv [см. (32.1)], или qeE, поэтому получается, что
(32.40)
Несмотря на то что мы не можем с легкостью измерять непосредственно τ, можно определять его, измеряя проводимость металла. Экспериментально обнаружено, что электрическое поле Е порождает в металлах ток с плотностью j, пропорциональной Е (для изотропного материала, конечно):
причем постоянная пропорциональности σ называется проводимостью.
В точности то же самое мы ожидаем из выражения (32.39), если положить
тогда
(32.41)
Таким образом, τ, а следовательно, и γ могут быть связаны с наблюдаемой электрической проводимостью. Используя (32.40) и (32.41), можно переписать нашу формулу (32.38) для показателя преломления в виде
(32.42)
где
(32.43)
Это и есть известная формула для показателя преломления в металлах.
§ 7. Низкочастотное и высокочастотное приближения; глубина скин-слоя и плазменная частота
Наш результат для показателя преломления в металлах —формула (32.42) — предсказывает для распространения волн с разными частотами совершенно различные характеристики. Прежде всего давайте посмотрим, что получается при низких частотах. Если величина ω достаточно мала, то (32.42) можно приближенно записать в виде
(32.44)
Возведением в квадрат[45] можно проверить, что
таким образом, для низких частот
(32.45)
Вещественная и мнимая части n имеют одну и ту же величину. С такой большой мнимой частью n волны в металлах затухают очень быстро. В соответствии с выражением (32.36) амплитуда волны, идущей в направлении оси z, уменьшается как
(32.46)
Запишем это в виде
(32.47)
где δ — это то расстояние, на котором амплитуда волны уменьшается в е=2,72 раза, т. е. приблизительно в 3 раза. Амплитуда такой волны, как функция от z, показана на фиг. 32.3.
Фиг. 32.3. Амплитуда поперечной электромагнитной волны в металле как функция расстояния.
Поскольку электромагнитные волны проникают в глубь металла только на это расстояние, величина δ называется глубиной скин-слоя и определяется выражением
(32.48)
Но что все-таки мы понимаем под «низкими» частотами? Взглянув на уравнение (32.42), мы видим, что его можно приближенно заменить уравнением (32.44), только когда ωτ много меньше единицы и когда ωε0/σ также много меньше единицы, т. е. наше низкочастотное приближение применимо при
и
(32.49)
Давайте посмотрим, какие частоты соответствуют этому приближению для такого типичного металла, как медь. Для вычисления τ воспользуемся уравнением (32.43), а для вычисления σ/ε0 — известными значениями σ и ε0. Справочник дает нам такие данные:
Если мы предположим, что на каждый атом приходится по одному свободному электрону, то число электронов в кубическом метре будет равно
Используя далее
получаем
Таким образом, для частот, меньших чем приблизительно 1012 гц, медь будет иметь описанное нами «низкочастотное» поведение. (Это будут волны с длиной, большей 0,3 мм, т. е. очень короткие радиоволны!)
Для таких волн глубина скин-слоя равна
Для микроволн с частотой 10 000 Мгц (3-сантиметровые волны)
т. е. волны проникают на очень малое расстояние.
Теперь вы видите, почему при изучении полостей (и волноводов) нам нужно беспокоиться только о полях внутри полости, а не о волнах в металле или вне полости. Кроме того, мы видим, почему серебрение или золочение полости уменьшает потери в ней. Ведь потери происходят благодаря токам, которые ощутимы только в тонком слое, равном глубине скин-слоя.
Рассмотрим теперь показатель преломления в металле типа меди при высоких частотах. Для очень высоких частот ωτ много больше единицы, и уравнение (32.42) очень хорошо аппроксимируется следующим: