(33.21)
(33.22)
(33.23)
(33.24)
Эти уравнения должны быть справедливы как в области 1 (слева от границы), так и в области 2 (справа от нее). Мы уже выписывали решения в областях 1 и 2. Они должны удовлетворяться и на самой границе, которую мы можем назвать областью 3. Хотя обычно мы считаем границу чем-то абсолютно резким, на самом деле таких границ не бывает. Физические свойства, правда, изменяются очень быстро, но все же не бесконечно быстро. Во всяком случае, мы можем считать, что между областями 1 и 2 изменение показателя преломления хотя и очень быстрое, но непрерывное. Это небольшое расстояние, на котором оно происходит, мы можем назвать областью 3. Подобный же переход в области 3 будут претерпевать и другие характеристики поля, такие, как Рх или Еy и т. п. Однако дифференциальные уравнения должны удовлетворяться; именно следуя за дифференциальными уравнениями в этой области, мы придем к необходимым «граничным условиям».
Предположим, например, что у нас есть граница между вакуумом (область 1) и стеклом (область 2). В вакууме нечему поляризоваться, так что P1=0. А поляризация в стекле пусть равна Р2. Между вакуумом и стеклом существует гладкий, но быстрый переход. Если мы проследим за какой-то компонентой Р, скажем Рх, то она может изменяться так, как это показано на фиг. 33.5, а.
Фиг. 33.5. Поля в переходной области 3 между двумя различными материалами в областях 1 и 2.
Предположим теперь, что мы взяли первое из наших уравнений — уравнение (33.21). В него входит производная от компонент Р по переменным х, у и z. Производные по у и z не очень интересны — в этих направлениях не происходит ничего замечательного. Но производная от Рх по х в области 3 из-за быстрого изменения Рх будет громадна. Производная ∂Рх/∂х, как показано на фиг. 33.5,б, имеет на границе очень резкий пик. Если вы представите, что граница сжимается до еще более тонкой области, пик вырастет еще больше. Если для интересующих нас волн граница действительно резкая, то величина ∂P/∂x в области 3 будет больше, много больше любого вклада, который может получиться из-за изменения Р в стороне от границы, так что мы пренебрегаем любыми другими изменениями, за исключением происходящих на границе.
Но как теперь можно удовлетворить уравнению (33.21), если с правой стороны у нас возвышается огромный пик? Только если существует равный ему громадный пик с другой стороны. Что-то и с левой стороны должно быть большим. Единственная возможность — это ∂Ех/∂х, поскольку изменения в направлениях у и z в тех волнах, о которых мы только что упомянули, дают лишь малый эффект. Таким образом, -ε0(∂Ех/∂х) должно быть, как это показано на фиг. 33.5,в, точной копией ∂P/∂x. Получается
Если это уравнение проинтегрировать по х по всей области 3, то мы придем к заключению, что
(33.25)
Другими словами, скачок ε0Ех при переходе от области 1 к области 2 должен быть равен скачку —Рх.
Уравнение (33.25) можно переписать в виде
(33.26)
оно гласит, что величина (ε0Ex+Рx) имеет равные значения как в области 2, так и в области 1. В таких случаях люди говорят, что величина (ε0Еx+Рх) непрерывна на границе. Таким образом, мы получили одно из наших граничных условий.
Хотя в качестве иллюстрации мы взяли случай, когда значение Р1 равно нулю, ибо в области 1 у нас был вакуум, ясно, что те же аргументы приложимы для любого материала в этих двух областях, так что уравнение (33.26) верно в общем случае. Давайте перейдем к остальным уравнениям Максвелла и посмотрим, что скажет нам каждое из них. Следующим мы возьмем уравнение (33.22,а). У него нет производной по х, так что оно ничего нам не говорит. (Вспомните, что на границе сами поля не особенно велики. Только их производные по х могут стать столь огромными, что будут доминировать в уравнении.) Взглянем теперь на уравнение (33.22,б). Смотрите! Именно здесь у нас есть производная по х! С левой стороны имеется ∂Ez/∂x. Предположим, что эта производная громадна. Но минуточку терпения! С правой стороны нет ничего, способного потягаться с ней, поэтому Еz не может иметь скачка при переходе из области 1 к области 2. [Если бы это было так, то с левой стороны уравнения (33.22,а) мы бы получили скачок, а с правой — его не было бы, и уравнение оказалось бы неверным.] Итак, мы получили новое условие: