Но если z-компонента момента количества движения изменяется на целое число от +j до -j, то не должно ли само j тоже быть целым числом? Нет! Не совсем так, целым должно быть удвоенное j, т. е. 2j. Иначе говоря, целым должна быть лишь разность между +j и -j. Таким образом, спин j', вообще говоря, может быть либо целым, либо полуцелым в зависимости от того, будет ли 2j нечетным или четным. Возьмем, к примеру, ядро типа лития, спин которого равен j=3/2. При этом момент количества движения относительно оси z принимает в единицах ℏ одно из следующих значений:
Так что если ядро находится в пустом пространстве в отсутствие внешних полей, то у него имеются четыре возможных состояния, каждое с одной и той же энергией. Для системы со спином 2 z-компонента момента количества движения принимает в единицах ℏ только следующие значения:
Если вы подсчитаете, сколько возможно состояний для данного спина j, то их получится (2j+1). Другими словами, если вы скажете мне, какова энергия системы и ее спин j, то число состояний с этой же энергией в точности будет равно (2j+1), причем каждое из них соответствует одной из различных величин z-компоненты момента количества движения.
Мне хотелось бы прибавить еще один факт. Если вы случайно выберете некоторый атом с известным j и измерите его z-компоненту момента количества движения, то сможете получить какое-то одно из возможных значений, причем каждое из них равновероятно. Любое состояние может характеризоваться только одним из возможных значений, но каждое из них столь же хорошо, как и любое другое. Каждое из них имеет в мире один и тот же вес (мы предполагаем, что никакой предварительной «сортировки» не было).
Кстати, этот факт имеет простой классический аналог. Представьте, что тот же самый вопрос вас интересует с классической точки зрения: какова вероятность какого-то определенного значения z-компоненты момента количества движения, если из набора систем, имеющих один и тот же момент количества движения, вы наугад выбрали одну? Ответ: любое из значений от максимального до минимального равновероятно (в чем вы можете легко убедиться сами). Этот классический результат соответствует равной вероятности любой из (2j+1) возможностей в квантовой механике.
Из того, что у нас было до сих пор, можно получить другое интересное и в каком-то смысле удивительное заключение. В некоторых классических расчетах в окончательном результате появлялась величина, равная квадрату момента количества движения J, другими словами, J·J. И вот оказывается, что правильную квантовомеханическую формулу можно угадать с помощью классических вычислений и следующего простого правила: замените J2=J·J на j(j+1)ℏ2. Этим правилом часто пользуются, и обычно оно дает верный результат, однако не всегда. Чтобы показать вам, почему это правило может хорошо работать, я приведу следующее рассуждение.
Скалярное произведение J·J можно записать как
Поскольку это скаляр, то он должен оставаться одним и тем же для любой ориентации спина. Предположим, что мы случайно выбрали образец какой-либо атомной системы и произвели измерения либо величины Jx2, либо Jy2, либо Jz2 — среднее значение любой из них должно быть тем же самым. (Ни одно из направлений не имеет особого преимущества перед любым другим.) Следовательно, среднее значение J·J равно просто утроенной средней величине любой компоненты, скажем Jz2: