Но поскольку J·J при любой ориентации одно и то же, его среднее, разумеется, будет постоянной величиной
(34.24)
Если же мы теперь скажем, что то же самое уравнение будет использоваться и в квантовой механике, то можем легко найти <Jz2>ср. Нам просто нужно взять сумму (2j+1) возможных значений Jz2 и поделить ее на число всех значений:
(34.25)
Вот что получается для системы со спином 3/2:
Отсюда мы заключаем, что
На вашу долю остается доказать, что соотношение (34.25) вместе с (34.24) дает в результате
(34.26)
Хотя в рамках классической физики мы бы думали, что наибольшее возможное значение z-компоненты J равно просто абсолютной величине J, именно √(J·J), в квантовой механике максимальное значение Jz всегда немного меньше его, ибо jℏ всегда меньше √(j(j+1))ℏ. Момент количества движения никогда не направлен «полностью вдоль оси z».
§ 8. Магнитная энергия атомов
Теперь я снова хочу поговорить о магнитном моменте. Я уже говорил, что в квантовой механике магнитный момент атомной системы может быть связан с моментом количества движения соотношением (34.6):
(34.27)
где -qe—заряд, а m — масса электрона.
Атомные магнитики, будучи помещены во внешнее магнитное поле, приобретут дополнительную магнитную энергию, которая зависит от компоненты их магнитного момента в направлении поля. Мы знаем, что
(34.28)
Выбирая ось z вдоль направления поля В, получаем
(34.29)
А используя уравнение (34.27), находим
Согласно квантовой механике, величина Jz может принимать только такие значения: jℏ, (j-1)ℏ,...,-jℏ. Поэтому магнитная энергия атомной системы не произвольна, допустимы только некоторые ее значения. Например, максимальная величина энергии равна
Величину qeℏ/2m обычно называют «магнетоном Бора» и обозначают через μB:
Возможные значения магнитной энергии будут следующими:
где Jz/ℏ принимает одно из следующих значений: j, (j-1), (j-2),..., (-j+1), -j.
Другими словами, энергия атомной системы, помещенной в магнитное поле, изменяется на величину, пропорциональную полю и компоненте Jz. Мы говорим, что энергия атомной магнитной системы «расщепляется магнитным полем на 2j+1 уровня». Например, атомы со спином j=3/2, энергия которых вне магнитного поля равна U0, в магнитном поле будут иметь четыре возможных значения энергии. Эти энергии можно изобразить на диаграмме энергетических уровней наподобие фиг. 34.5.
Фиг. 34.5. Возможные магнитные энергии атомной системы со спином 3/2 в магнитном поле В.
Однако энергия каждого атома в данном поле В принимает только одно из четырех возможных значений. Именно это говорит квантовая механика о поведении атомной системы в магнитном поле.
Простейшая «атомная» система — отдельный электрон. Спин электрона равен 1/2, поэтому у него возможны два состояния: Jz=ℏ/2 и Jz=-ℏ/2. Для спинового магнитного момента отдельного покоящегося электрона (у которого отсутствует орбитальное движение) g=2, так что магнитная энергия будет ±μBB. На фиг. 34.6 показаны возможные энергии электрона в магнитном поле.
Фиг. 34.6. Два возможных энергетических состояния электрона в магнитном поле В.
Грубо говоря, спин электрона направлен либо «вверх» (по магнитному полю), либо «вниз» (против поля).
У системы с более высоким спином число состояний тоже больше. Поэтому мы можем в зависимости от величины Jz говорить о спине, направленном «вверх» или «вниз» или под некоторым «углом».
Эти результаты квантовой механики мы будем использовать при обсуждении магнитных свойств материалов в следующей главе.
Глава 35 ПАРАМАГНЕТИЗМ И МАГНИТНЫЙ РЕЗОНАНС