по любому пути. Мы видели в гл. 3, что в таком поле ∇×Е должно быть всюду равно нулю. Электрическое поле электростатики — это поле без роторов.
Вы можете потренироваться в векторном исчислении, доказав равенство нулю вектора ∇×Е другим способом, т. е. вычислив компоненты вектора ∇×Е для поля точечного заряда по формулам (4.11). Если получится нуль, то принцип наложения обеспечит нам обращение ∇×Е в нуль для любого распределения зарядов.
Следует подчеркнуть важный факт. Для любой радиальной силы выполняемая работа не зависит от пути и существует потенциал. Если вы вдумаетесь в это, то увидите, что все наши доказательства того, что интеграл работы не зависит от пути, сами определялись только тем, что сила от отдельного заряда была радиальна и сферически симметрична. То, что зависимость силы от расстояния имела вид 1/r2, не имело никакого значения, при любой зависимости от r получилось бы то же самое. Существование потенциала и обращение в нуль ротора Е вытекают на самом деле только из симметрии и направленности электростатических сил. По этой причине уравнение (4.28) или (4.29) может содержать в себе только часть законов электричества.
§ 5. Поток поля Е
Теперь мы хотим вывести уравнение, которое непосредственно и в лоб учитывает тот факт, что закон силы — это закон обратных квадратов. Кое-кому кажется «вполне естественным», что поле меняется обратно пропорционально квадрату расстояния, потому что «именно так, мол, все распространяется». Возьмите световой источник, из которого льется поток света; количество света, проходящее через основание конуса с вершиной в источнике, одно и то же независимо от того, насколько основание удалено от вершины. Это с необходимостью следует из сохранения световой энергии. Количество света на единицу площади — интенсивность — должно быть обратно пропорционально площади, вырезанной конусом, т. е. квадрату расстояния от источника. Ясно, что по той же причине и электрическое поле должно изменяться обратно квадрату расстояния!
Но здесь ведь нет ничего похожего на «ту же причину». Ведь никто не может сказать, что электрическое поле есть мера чего-то такого, что похоже на свет и что поэтому должно сохраняться. Если бы у нас была такая «модель» электрического поля, в которой вектор поля представлял бы направление и скорость (ну, например, был бы током) каких-то вылетающих маленьких «дробинок», и если бы эта модель требовала, чтобы число дробинок сохранялось и ни одна не могла пропасть после вылета из заряда, вот тогда мы могли бы говорить, что «чувствуем» неизбежность закона обратных квадратов. С другой стороны, непременно должен был бы существовать математический способ выражения этой физической идеи. Если бы электрическое поле было подобно сохраняющимся дробинкам, то оно менялось бы обратно пропорционально квадрату расстояния и мы могли бы описать такое поведение некоторым уравнением, т. е. чисто математическим путем. Если мы не утверждаем, что электрическое поле сделано из дробинок, а понимаем, что это просто модель, помогающая нам прийти к правильной математической теории, то ничего плохого в таком способе рассуждений нет.
Предположим, что мы на мгновение представили себе электрическое поле в виде потока чего-то сохраняющегося и текущего повсюду, за исключением того места, где расположен сам заряд (должен же этот поток откуда-то начинаться!). Представим что-то (что именно — неважно), вытекающее из заряда в окружающее пространство. Если бы Е было вектором такого потока (как h — вектор теплового потока), то вблизи от точечного источника оно обладало бы зависимостью 1/r2. Теперь мы желаем использовать эту модель для того, чтобы глубже сформулировать закон обратных квадратов, а не просто говорить об «обратных квадратах». (Вам может показаться удивительным, почему вместо того, чтобы сходу, прямо и открыто сформулировать столь простой закон, мы хотим трусливо протащить то же самое, но с заднего хода. Немного терпения! Это окажется небесполезным.)
Спросим себя: чему равно «вытекание» Е из произвольной замкнутой поверхности в окрестности точечного заряда? Для начала возьмем простенькую поверхность — такую, как показано на фиг. 4.5.
Фиг. 4.5. Поток E из поверхности S равен нулю.
Если поле Е похоже на поток, то суммарное вытекание из этого ящика должно быть равно нулю. Это и получается, если под «вытеканием» из этой поверхности мы понимаем поверхностный интеграл от нормальной составляющей Е, т. е. поток Е в том смысле, который был установлен в гл. 3. На боковых гранях нормальная составляющая Е равна нулю. На сферических гранях нормальная составляющая Е равна самой величине Е, с минусом на меньшей грани и с плюсом на большей. Величина Е убывает как 1/r2, а площадь грани растет как r2, так что их произведение от r не зависит. Приток Е через грань а в точности гасится оттоком через грань b. Суммарный поток через S равен нулю, а это все равно, что сказать, что