Мы вычислим изменение размеров и подберем такие поперечные силы, чтобы ширина и высота оставались постоянными. Следуя обычным рассуждениям, мы получаем для трех напряжений
(38.15)
(38.16)
(38.17)
Но поскольку по условию Δlу и Δlz равны нулю, то уравнения (38.16) и (38.17) дают два соотношения, связывающие Fy и Fz с Fx. Совместно решая их, найдем
(38.18)
а подставляя (38.18) в (38.15), получаем
(38.19)
Это соотношение вы часто можете встретить «перевернутым» и с преобразованным квадратичным полиномом по σ, т. е.
(38.20)
Когда вы удерживаете бока, модуль Юнга умножается на некоторую сложную функцию σ. Из уравнения (38.19) можно сразу же увидеть, что множитель перед Y всегда больше единицы. Растянуть брусок, когда его бока удерживаются, гораздо труднее. Это означает также, что брусок становится жестче, когда его боковые стороны закреплены, нежели когда они свободны.
§ 3. Кручение стержня; волны сдвига
Обратимся теперь к более сложному примеру, когда различные части материала напряжены по-разному. Рассмотрим скрученный стержень — скажем, приводной вал какой-то машины или подвеску из кварцевой нити, применяемую в точных приборах. Из опытов с маятником кручения вы, по-видимому, знаете, что момент сил, действующий на закручиваемый стержень, пропорционален углу, причем константа пропорциональности, очевидно, зависит от длины стержня, его радиуса и свойств материала. Но каким образом — вот в чем вопрос? Теперь мы в состоянии ответить на него: просто нужно немного разобраться в геометрии.
На фиг. 38.9, а показан цилиндрический стержень, обладающий длиной L и радиусом а, один из концов которого закручен на угол φ по отношению к другому.
Фиг. 38.9. Кручение цилиндрического стержня (а), кручение цилиндрического слоя (б) и сдвиг любого маленького кусочка в слое (в).
Если мы хотим связать деформацию с тем, что уже известно, то стержень можно представить состоящим из множества цилиндрических оболочек и выяснить, что происходит в каждой из этих оболочек. Начнем с рассмотрения тонкого короткого цилиндра радиусом r (меньшего, чем в) и толщиной Δr, как показано на фиг. 38.9, б. Если теперь посмотреть на кусочек внутри этого цилиндра, который первоначально был маленьким квадратом, то можно заметить, что он превратился в параллелограмм. Каждый элемент цилиндра сдвигается, а угол сдвига θ равен
Поэтому напряжение сдвига g в материале будет [из уравнения (38.13)]
(38.21)
Напряжение среза равно тангенциальной силе ΔF, действующей на конец квадратика, поделенной на его площадь ΔlΔr (см. фиг. 38.9, в):
Сила ΔF, действующая на конец такого квадратика, создает относительно оси стержня момент сил Δτ, равный
(38.22)
Полный момент τ равен сумме таких моментов по всему периметру цилиндра. Складывая достаточное число таких кусков так, чтобы все Δl составляли 2πr, находим, что полный момент сил для пустотелой трубы равен
(38.23)
Или, используя уравнение (38.21),
(38.24)
Мы получили, что жесткость τ/φ пустотелой трубы по отношению к кручению пропорциональна кубу радиуса r и толщине Δr и обратно пропорциональна его длине L.
Теперь представьте себе, что стержень сделан из целой серии таких концентрических труб, каждая из которых закручена на угол φ (хотя внутренние напряжения в каждой трубе различны). Полный момент равен сумме моментов, требуемых для скручивания каждой оболочки, так что для твердого стержня
где интеграл берется от 0 до а — радиуса стержня. После интегрирования получаем
(38.25)
Если закручивать стержень, то его момент оказывается пропорциональным углу и четвертой степени диаметра: стержень вдвое большего радиуса в шестнадцать раз жестче относительно кручения.
Прежде чем расстаться с кручением, рассмотрим применение теории к одной интересной задаче — волнам кручения. Возьмем длинный стержень и неожиданно закрутим один его конец; вдоль стержня, как показано на фиг. 38.10, а, пойдет волна кручения.
Фиг. 38.10. Волна кручения в стержне (а) и элемент объема стержня (б).