Фиг. 39.5. Маленький элемент объема V, ограниченный поверхностью А,
Если этот кусочек находится в равновесии, то полная действующая на него сила F должна быть равна нулю. Можно считать, что эта сила состоит из двух частей, одна из которых обусловлена «внешними» силами, подобными гравитации, действующими на расстоянии на вещество нашего кусочка и приводящими к величине силы на единицу объема fвнешн. Полная же внешняя сила Fвнешн равна интегралу от fвнешн по всему объему кусочка:
(39.23)
В равновесии эти силы балансируются полной силой Fвнутр, действующей по поверхности А со стороны окружающего материала. Когда же этот кусочек не находится в равновесии, а движется, сумма внутренних и внешних сил будет равна произведению массы на ускорение. При этом мы получаем
(39.24)
где ρ—плотность материала, а ..r — его ускорение. Теперь мы можем скомбинировать уравнения (39.23) и (39.24) и написать
(39.25)
Нашу запись можно упростить, положив
(39.26)
Тогда уравнение (39.25) запишется в виде
(39.27)
Величина, названная нами Fвнутр, связана с напряжениями в материале. Тензор напряжений Sij был определен нами в гл. 31 таким образом, что x-компонента силы dF, действующей на элемент поверхности da с нормалью n, задается выражением
(39.28)
Отсюда х-компонента силы Fвнутр, действующей на наш кусочек, равна интегралу от dFx по всей поверхности. Подставляя это в x-компоненту уравнения (39.27), получаем
(39.29)
Оказалось, что поверхностный интеграл связан с интегралом по объему, а это напоминает нам нечто знакомое по главам об электричестве. Заметьте, что если не обращать внимания на первый значок х в каждом из S в левой части (39.29), то она выглядит в точности как интеграл от величины (S·n), т.е. нормальной компоненты вектора по поверхности. Она была бы равна потоку S через объем. А используя теорему Гаусса, поток можно было бы записать в виде объемного интеграла от дивергенции S. На самом деле все это справедливо независимо от того, есть ли у нас индекс х или нет. Это просто математическая теорема, которая доказывается интегрированием по частям. Другими словами, уравнение (39.29) можно превратить в
(39.30)
Теперь можно отбросить интегралы по объему и написать дифференциальное уравнение для любой компоненты f:
(39.31)
Оно говорит нам, как связана сила, действующая на единицу объема с тензором напряжения Sij.
Вот как работает эта теория внутренних движений твердого тела. Если первоначально нам известны перемещения, задаваемые, скажем, вектором u, то можно найти деформации eij. Из деформаций с помощью уравнения (39.12) можно получить напряжения. Затем с помощью уравнения (39.31) мы из напряжений можем найти плотности сил f. А зная f, мы из уравнения (39.26) получаем ускорение ..r в материале, которое подскажет нам, как изменятся перемещения. Собирая все это вместе, мы получаем ужасно сложные уравнения движения упругого твердого тела. Я просто напишу вам ответ для изотропного материала. Если вы воспользуетесь для Sij уравнением (39.20) и запишете eij в виде 1/2 (∂ui/∂xj+∂uj/∂xi), то окончательно получите векторное уравнение:
(39.32)
Вы можете очень просто убедиться в том, что уравнение должно иметь такую форму. Сила должна зависеть от второй производной — перемещения u. Но какие можно составить вторые производные u так, чтобы они были векторами? Одна из них ∇(∇·u); это самый настоящий вектор. Есть еще только одна такая комбинация — это ∇2u. Так что наиболее общей формой силы будет
что как раз дает (39.32) с другим определением постоянных. Вас может удивить, почему у нас нет третьего слагаемого ∇×∇×u, которое тоже вектор. Но вспомните, что ∇×∇×u в точности равно ∇2u-∇(∇·u), т. е. это линейная комбинация двух уже написанных слагаемых. Так что оно не добавит ничего нового. Мы еще раз доказали, что в изотропном материале есть только две упругие постоянные.