В качестве примера применения этих идей рассмотрим движение жидкости между двумя коаксиальными цилиндрами. Пусть радиус внутреннего цилиндра равен а, его скорость будет vа, а радиус внешнего цилиндра пусть будет b, а скорость равна vb (фиг. 41.3).
Фиг. 41.3. Поток жидкости между двумя концентрическими цилиндрами, вращающимися с разными угловыми скоростями.
Возникает вопрос, каково распределение скоростей между цилиндрами? Чтобы ответить на него, начнем с получения формулы для вязкого сдвига в жидкости на расстоянии r от оси. Из симметрии задачи можно предположить, что поток всегда тангенциален и что его величина зависит только от r; v=v(r). Если мы понаблюдаем за соринкой в воде, расположенной на расстоянии r от оси, то ее координаты как функции времени будут
где ω=v/r. При этом х- и y-компоненты скорости равны
(41.4)
Из формулы (41.3) получаем
(41.5)
Для точек с у=0 имеем ∂ω/∂у=0, а х(∂ω/∂х) будет равно r(dω/dr). Так что в этих точках
(41.6)
(Разумно думать, что величина S должна зависеть от ∂ω/∂r, когда ω не изменяется с r, жидкость находится в состоянии равномерного вращения и напряжения в ней не возникают.)
Вычисленное нами напряжение представляет собой тангенциальный сдвиг, одинаковый повсюду вокруг цилиндра. Мы можем получить момент сил, действующий на цилиндрической поверхности радиусом r, путем умножения напряжения сдвига на плечо импульса r и площадь 2πrl:
(41.7)
Поскольку движение воды стационарно и угловое ускорение отсутствует, то полный момент, действующий на цилиндрическую поверхность воды между радиусами r и r+dr, должен быть нулем; иначе говоря, момент сил на расстоянии r должен уравновешиваться равным ему и противоположно направленным моментом сил на расстоянии r+dr, так что τ не должно зависеть от r. Другими словами, r3(dω/dr) равно некоторой постоянной, скажем А, и
(41.8)
Интегрируя, находим как ω изменяется с r:
(41.9)
Постоянные А и В должны определяться из условия, что ω=ωa в точке r=a, а ω=ωb в точке r=b. Тогда находим
(41.9)
Таким образом, ω как функция r нам известна, а стало быть, известно и v=ωr.
Если же нам нужно определить момент сил, то его можно получить из выражений (41.7) и (41.8):
или
(41.11)
Он пропорционален относительной угловой скорости двух цилиндров. Имеется стандартный прибор для измерения коэффициентов вязкости, который устроен следующим образом: один из цилиндров (скажем, внешний) посажен на ось, но удерживается в неподвижном состоянии пружинным динамометром, который измеряет действующий на него момент сил, а внутренний цилиндр вращается с постоянной угловой скоростью. Коэффициент вязкости определяется при этом из формулы (41.11).
Из определения коэффициента вязкости вы видите, что η измеряется в ньютон·сек/м2. Для воды при 20° С
Часто удобнее бывает пользоваться удельной вязкостью, которая равна η, деленной на плотность ρ. При этом величины удельных вязкостей воды и воздуха сравнимы:
(41.12)
Обычно вязкость очень сильно зависит от температуры. Например, для воды непосредственно над точкой замерзания отношение η/ρ в 1,8 больше, чем при 20° С.
§ 2. Вязкий поток
Перейдем теперь к общей теории вязкого потока, по крайней мере настолько общей, насколько это и известно человеку. Вы уже понимаете, что компоненты сдвиговых напряжений сдвига пропорциональны пространственным производным от различных компонент скорости, таких, как ∂vx/∂y или ∂vy/∂х. Однако в общем случае сжимаемой жидкости в напряжениях есть и другой член, который зависит от других производных скорости. Общее выражение имеет вид
(41.13)
где хi — какая-либо из координат х, у или z; vi — какая-либо з прямоугольных составляющих скорости. (Значок δij обозначает символ Кронекера, который равен единице при i=j и нулю при i≠j.) Ко всем диагональным элементам Sij тензора напряжений прибавляется дополнительный член η'∇·v. Если жидкость несжимаема, то ∇·v=0 и дополнительного члена не появляется, так что он действительно имеет отношение к внутренним силам при сжатии. Для описания жидкости, точно так же как и для описания однородного упругого тела, требуются две постоянные. Коэффициент η представляет «обычный» коэффициент вязкости, который мы уже учитывали. Он называется также первым коэффициентом вязкости, а новый коэффициент η' называется вторым коэффициентом вязкости.