Математически задача состоит в следующем: мы хотим найти решение для потока несжимаемой вязкой жидкости вблизи длинного цилиндра диаметром D. Поток должен определяться уравнением (41.17) и
(41.18)
с условием, что скорость на больших расстояниях равна некоторой постоянной V (параллельной оси х), а на поверхности цилиндра равна нулю. Так что
(41.19)
при
Это полностью определяет математическую задачу.
Если вы вглядитесь в эти выражения, то увидите, что в задаче есть четыре различных параметра: η, ρ, D и V. Можно подумать, что нам придется иметь дело с целой серией решений для разных V, разных D и т. д. Вовсе нет. Все возможные различные решения соответствуют разным значениям одного параметра. Такова наиболее важная общая вещь, которую мы можем сказать о вязком потоке. А чтобы понять, почему это так, заметьте сначала, что вязкость и плотность появляются в виде отношения η/ρ, т. е. удельной вязкости. Это уменьшает число независимых параметров до трех. Предположим теперь, что все расстояния мы измеряем в единицах той единственной длины, которая появляется в задаче: диаметра цилиндра D, т. е. вместо х, у, z мы вводим новые переменные х', у', z', причем
При этом параметр D из (41.19) исчезает. Точно так же если будем измерять все скорости в единицах V, т. е. если мы положим v=v'V, то избавимся от V, а v' на больших расстояниях будет просто равно единице. Поскольку мы фиксировали наши единицы длины и скорости, то единицей времени теперь должно быть D/V, так что мы должны сделать подстановку:
(41.20)
В наших новых переменных производные в уравнении (41.18) тоже изменятся: так, ∂/∂х перейдет в (1/D)(∂/∂х') и т. д., так что уравнение (41.18) превратится в
(41.21)
А наше основное уравнение (41.17) перейдет в
Все постоянные при этом собираются в один множитель, который мы, следуя традиции, обозначим через 1/ℛ:
(41.22)
Если теперь мы просто запомним, что все наши уравнения должны выписываться для величин, измеряемых в новых единицах, то все штрихи можно опустить. Тогда уравнения для потока примут вид
(41.23)
и
с условиями,
для
(41.24)
и
для
Что все это значит? Если, например, мы решили задачу для потока с одной скоростью V1 и некоторого цилиндра диаметром D1, а затем интересуемся обтеканием цилиндра другого диаметра D2 другой жидкостью, то поток будет одним и тем же при такой скорости V2, которая отвечает тому же самому числу Рейнольдса, т. е. когда
(41.25)
В любых случаях, когда числа Рейнольдса одинаковы, поток при выборе надлежащего масштаба х', у', z' и t' будет «выглядеть» одинаково. Это очень важное утверждение, ибо оно означает, что мы можем определить поведение потока воздуха при обтекании крыла самолета, не строя самого самолета и не испытывая его. Вместо этого мы можем сделать модель и провести измерения, используя скорость, которая дает то же самое число Рейнольдса. Именно этот принцип позволяет нам применять результаты измерений над маленькой моделью самолета в аэродинамической трубе или результаты, полученные с моделью корабля, к настоящим объектам. Напомню, однако, что это можно делать только при условии, что сжимаемостью жидкости можно пренебречь. В противном случае войдет новая величина — скорость звука. При этом различные модели будут действительно соответствовать друг другу только тогда, когда отношение V к скорости звука тоже приблизительно одинаково. Отношение скорости V к скорости звука называется числом Маха. Таким образом, для скоростей, близких к скорости звука или больших, поток в двух задачах будет выглядеть одинаково, если и число Маха и число Рейнольдса в обеих ситуациях одинаковы.
§ 4. Обтекание кругового цилиндра
Вернемся теперь обратно к задаче об обтекании цилиндра медленным (почти несжимаемым) потоком. Я дам вам качественное описание потока реальной жидкости. О таком потоке нам необходимо знать множество вещей. Например, какая увлекающая сила действует на цилиндр? Сила, увлекающая цилиндр, показана на фиг. 41.4 как функция величины ℛ, которая пропорциональна скорости V, если все остальное фиксировано.