(1.4)
В случае электрического поля можно математически определить понятие, сходное с потоком жидкости; мы тоже называем его потоком, но, конечно, это уже не течение какой-то жидкости, потому что электрическое поле нельзя считать скоростью чего-то. Оказывается все же, что математическая величина, определяемая как средняя нормальная компонента поля, по-прежнему имеет полезное значение. Тогда мы говорим о потоке электричества, также определяемом уравнением (1.4). Наконец, полезно говорить и о потоке не только сквозь замкнутую, но и сквозь любую ограниченную поверхность. Как и прежде, поток сквозь такую поверхность определяется как средняя нормальная компонента вектора, умноженная на площадь поверхности. Эти представления иллюстрируются фиг. 1.3.
Фиг. 1.3. Поток векторного поля через поверхность, определяемый как произведение среднего значения перпендикулярной составляющей вектора на площадь этой поверхности.
Другое свойство векторных полей касается не столько поверхностей, сколько линий. Представим опять поле скоростей, описывающее поток жидкости. Можно задать интересный вопрос: циркулирует ли жидкость? Это значит: существует ли вращательное ее движение вдоль некоторого замкнутого контура (петли)? Вообразите себе, что мы мгновенно заморозили жидкость повсюду, за исключением внутренней части замкнутой в виде петли трубки постоянного сечения (фиг. 1.4).
Фиг. 1.4. Поле скоростей в жидкости (а). Представьте себе трубку постоянного сечения, уложенную вдоль произвольной замкнутой кривой (б). Если жидкость внезапно заморозить повсюду, кроме трубки, то жидкость в трубке начнет циркулировать (в).
Снаружи трубки жидкость остановится, но внутри она может продолжать двигаться, если в ней (в жидкости) сохранился импульс, т. е. если импульс, который гонит ее в одном направлении, больше импульса в обратном. Мы определяем величину, называемую циркуляцией, как скорость жидкости в трубке, умноженную на длину трубки. Опять-таки мы можем расширить наши представления и определить «циркуляцию» для любого векторного поля (даже если там нет ничего движущегося). У всякого векторного поля циркуляция по любому воображаемому замкнутому контуру определяется как средняя касательная компонента вектора (с учетом направления обхода), умноженная на протяженность контура (фиг. 1.5):
(1.5)
Фиг. 1.5. Циркуляция векторного поля, равная произведению средней касательной составляющей вектора (с учетом ее знака по отношению к направлению обхода) на длину контура.
Вы видите, что это определение действительно дает число, пропорциональное циркуляции скорости в трубке, просверленной в быстрозамороженной жидкости.
Пользуясь только этими двумя понятиями — понятием о потоке и понятием о циркуляции,— мы способны описать все законы электричества и магнетизма. Вам, быть может, трудно будет отчетливо понять значение законов, но они дадут вам некоторое представление о том, каким способом в конечном счете может быть описана физика электромагнитных явлений.
§ 4. Законы электромагнетизма
Первый закон электромагнетизма описывает поток электрического поля:
(1.6)
где ε0 — некоторая постоянная (читается эпсилон-нуль). Если внутри поверхности нет зарядов, а вне ее (даже совсем рядом) есть, то все равно средняя нормальная компонента Е равна нулю, так что никакого потока через поверхность нет. Чтобы показать пользу от такого типа утверждений, мы докажем, что уравнение (1.6) совпадает с законом Кулона, если только учесть, что поле отдельного заряда обязано быть сферически симметричным. Проведем вокруг точечного заряда сферу. Тогда средняя нормальная компонента в точности равна значению Е в любой точке, потому что поле должно быть направлено по радиусу и иметь одну и ту же величину во всех точках сферы. Тогда наше правило утверждает, что поле на поверхности сферы, умноженное на площадь сферы (т. е. вытекающий из сферы поток), пропорционально заряду внутри нее. Если увеличивать радиус сферы, то ее площадь растет, как квадрат радиуса. Произведение средней нормальной компоненты электрического поля на эту площадь должно по-прежнему быть равно внутреннему заряду, значит, поле должно убывать, как квадрат расстояния; так получается поле «обратных квадратов».