то первыми членами составленной нами последовательности будут 1, 0, 0.
Так как этот метод составления последовательности нулей и единиц заключается в изменении значений элементов, расположенных по диагонали, он называется диагональным методом. Здесь мы хотим показать, что последовательность, полученная диагональным методом, является элементом рассматриваемого множества, однако не фигурирует в гипотетическом списке всех элементов этого множества. И действительно, наша последовательность не может быть первой последовательностью из списка, так как их первые члены отличаются. Она не может быть и второй последовательностью, так как мы изменили ее второй член, она не может быть ни третьей, ни четвертой: каждая последовательность из списка будет отличаться от составленной нами как минимум одним элементом — этот элемент будет располагаться на диагонали. Мы предположили, что множество последовательностей нулей и единиц счетное, то есть все его элементы можно представить в виде списка, и получили противоречие. Это доказывает, что наше множество не является счетным!
Мы посвятили несколько страниц объяснению основных понятий теории множеств не только для того, чтобы даже сформулировать парадокс Рассела. Доказательство того, что множество последовательностей нулей и единиц не является счетным, читатель может счесть не более чем виртуозным упражнением, однако оно позволит нам показать в главе 5, что существуют задачи, с которыми не могут справиться даже компьютеры, и установить пределы «сну разума», о котором говорится в названии этой книги. Мы также надеемся, что смогли продемонстрировать читателю, сколько тайн встречается тем, кто путешествует по миру бесконечных множеств.
* * *
ПРЕПОДАВАНИЕ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ В ШКОЛЕ
В 70-е годы группа последователей французской математической группы Бурбаки, которые, однако, в большинстве своем не были математиками, захотели ввести теорию множеств в курс начальных школ Европы. В этой учебной программе натуральные числа объяснялись как кардинальные числа конечных множеств. 0 определялся как кардинальное число пустого множества, а сложение 2 и 3 объяснялось как объединение множества из 2 элементов с другим множеством из 3 элементов, при этом не важно, что результат будет обозначаться 5, важно, что 2 + 3 = 3 + 2, так как не имеет значения, в каком порядке мы будем объединять элементы множеств. Как рассказывал Пьер Картье, в то время бывший секретарем группы Бурбаки, в результате этой политики в сфере образования дети возвращались из школы домой и плакали: «Мама, я не хочу быть множеством».
Диаграммы Венна — наиболее типичный способ представления множеств.
* * *
Бертран Рассел познакомился с теорией множеств в 1896 году. Ему было довольно трудно принять ее: автор книги, из которой Рассел узнал о существовании этой теории, входил в число тех, кто считал, что теория Кантора была недостаточно строгой, и уподоблял ее теологии, а Рассел в этот период стремился к максимальной научной строгости. Однако позднее он понял, что многие обвинения в адрес Кантора были необоснованными, и включил идеи этого немецкого математика в последнее издание «Начал математики», вышедшее в мае 1903 года. Знакомясь с новой литературой, чтобы дополнить последнее издание книги, Рассел открыл для себя труд Готлоба Фреге, который предвосхитил многие из его открытий, опередив Рассела на 20 лет.
Понять, что Фреге и Рассел вели речь об одном и том же, было не всегда просто: сложный символический язык Фреге, подобный нотной партитуре современной музыки, не имел ничего общего с простой и понятной нотацией, которую Рассел перенял у Пеано.
Подробно изучив «Исчисление понятий» (Begriffsschrift) — книгу, в которой Фреге впервые изложил результаты своих исследований, — Рассел начал задумываться о множестве всех множеств, которые не принадлежат сами себе. Множество всех котов определенно не является котом, однако множество всего, что только можно себе представить, также можно представить. О таких множествах мы говорим, что они принадлежат сами себе.
Гэтлоб Фреге — создатель математической логики.