В период с 1906 по 1908 год Рассел нашел простое решение парадокса, на основе которого сформулировал теорию типов. До этого он занимался решением онтологической задачи, предметом которой были описания вида «наибольшее натуральное число» или «нынешний король Франции», которые, будучи грамматически корректными, не описывают никакой конкретный объект. В случае с «множеством всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента» дело обстоит еще хуже: это множество не просто не существует, но даже его описание не является корректным. Оно равносильно высказыванию «Франция в период правления нынешнего короля» или «наибольшее натуральное число».
* * *
РАССЕЛ О ФРЕГЕ
В письме к историку математической логики Жану ван Хейенорту от 23 ноября 1962 года Рассел так отзывался о Фреге:
«Когда я думаю о благородстве и честности, то понимаю, что не знаком ни с кем, кто мог бы сравниться с Фреге в стремлении к поиску истины. Фреге заканчивал труд всей своей жизни, большая часть его трудов была проигнорирована, а предпочтение было отдано людям бесконечно менее компетентным, чем он. Второй том уже был готов к публикации, и когда Фреге понял, что его фундаментальная гипотеза была ошибочной, он отреагировал на это с интеллектуальным удовольствием, подавив всякое разочарование. Это было чем-то почти сверхчеловеческим и являло собой признак того, на что способны люди, которые посвятили себя творчеству и знанию, а не отчаянной погоне за властью и славой».
* * *
В простейшем варианте теории Рассела каждому математическому объекту можно присвоить число в зависимости от его сложности: элементы имеют тип 0, множества элементов — тип 1, множества множеств элементов — тип 2 и т. д. Например, если рассмотреть натуральные числа, то число 8 будет иметь тип 0, множество Р всех четных чисел и множество I всех нечетных чисел — тип 1, а множество {Р, I} будет иметь уже тип 2, так как его элементы будут иметь тип 1. После того как всем объектам присвоены типы, устанавливается нерушимое правило: для объекта типа n можно задать отношение принадлежности только к объекту типа n + 1. Выражение «число 8 четное» является корректным, так как 8 имеет тип О, Р — тип 1. Тем не менее нет смысла задаваться вопросом, является ли само множество Р четных чисел четным числом или нет, так как в этом случае речь идет об отношении принадлежности, связывающем объекты одного типа. Именно о таком отношении шла речь в описании множества всех множеств, которые не принадлежат самим себе. На языке логики говорить «принадлежать самому себе» с концептуальной точки зрения некорректно, и здесь парадокс исчезает: для данного свойства Р можно рассмотреть множество объектов, которые обладают этим свойством, однако для этого Р как минимум должно быть корректно определено.
Эрнст Цермело, создатель первой аксиоматики теории множеств.
Одновременно с публикацией в журнале American Journal of Mathematics статьи Рассела «Математическая логика, основанная на теории типов» Эрнст Цермело (1871–1953) предложил новое решение этого парадокса, менее концептуальное, чем выдвинутое Расселом, но намного более практичное с точки зрения «рабочих от математики». Сегодня нам известно, что одна из величайших трудностей при создании любой теории — это определить предмет ее изучения. Повсюду говорят о теории информации, но что такое информация? Некоторые определяют биологию как науку о жизни, но что такое жизнь? Этими же вопросами задался Цермело при рассмотрении теории множеств. Согласно интуитивному определению Кантора, множества были не более чем совокупностями объектов, обладающих определенным свойством, однако такое определение допускало создание множества всех множеств, которые не принадлежат сами себе. Без четкого определения множества нельзя было двигаться дальше. Цермело заменил примитивное определение множества списком аксиом, в число которых включил аксиому, не позволявшую определить множество из парадокса Рассела. Начиная с этого момента множества стали определяться как объекты, удовлетворяющие списку аксиом.