Мы начали эту главу с анализа парадокса Рассела, однако пусть читатель не думает, что логические парадоксы являются исключительно творениями современности. Само слово «парадокс» — «неожиданный, странный» — имеет греческие корни.
В широком смысле парадокс — это абсурдное заключение, к которому ведут рассуждения, кажущиеся правильными и начинающиеся с корректных гипотез. Когда Рассел стал рассматривать множество всех множеств, которые не принадлежат сами себе, он опирался на литературную и философскую традицию. Вплоть до конца XIX века казалось невозможным, что парадоксы пересекут границу естественных наук и вторгнутся в царство чистого разума. Философы прибегали к парадоксам, чтобы подчеркнуть, что чувства обманчивы, а поэты использовали парадоксы как единственный способ донести до читателя истину о любви. Математики же страшились парадоксов, словно ящика Пандоры, открыв крышку которого, можно разрушить все в один миг. Поэтому открытие противоречий в теории множеств в то самое время, когда ученые постепенно начали признавать труд Кантора универсальной основой математики, вызвало кризис, пошатнувший самые основы науки. И на преодоление этого кризиса потребовалось несколько лет.
Один из древнейших парадоксов — это парадокс об Ахиллесе и черепахе, с помощью которого философ-досократик Зенон Элейский, ученик Парменида, хотел доказать, что движения не существует, и нанести удар по защитникам атомистической концепции пространства и времени. Зенон объяснял: фора, которую Ахиллес дает черепахе, чтобы забег проходил в равных условиях, непреодолима — когда атлет добежит до того места, где черепаха находилась вначале, она проползет чуть дальше. Когда Ахиллес преодолеет расстояние, пройденное черепахой, он вновь не сможет поравняться с ней — она успеет проползти немного вперед. Ахиллеса всегда будет отделять от черепахи некоторое расстояние, сколь бы малым оно ни было.
В другой формулировке этого парадокса утверждается, что стрела никогда не достигнет цели, так как когда она пролетит половину требуемого расстояния, ей нужно будет преодолеть вторую половину, когда она пролетит половину этой половины — останется четвертая часть, затем восьмая и так далее до бесконечности. Однако в реальной жизни Ахиллес всегда обгоняет черепаху, а стрела долетает до цели.
Возможно, наиболее интересными среди классических парадоксов являются антиномии — утверждения, истинные и ложные одновременно. Среди них выделяется парадокс лжеца, обычно приписываемый Эпимениду Критскому, хотя возможно, что этот философ, о котором говорили, будто он проспал 57 лет в пещере, зачарованной Зевсом, не осознавал, что формулирует парадокс. В одном из стихов Эпименид говорит о «критянах, вечно лживых», которые не верили в бессмертие Зевса. Однако сам Эпименид также был критянином, поэтому его утверждение относилось к нему самому и было равносильно высказыванию «Я всегда лгу».
Допустим, что Эпименид лжет, тогда его высказывание не может быть верным, следовательно, он говорит правду. Если же, напротив, Эпименид говорит правду, то его высказывание должно быть истинным, следовательно, он лжет. По легенде, поэт Филит Косский умер от изнеможения, пытаясь разрешить этот парадокс.
В действительности фраза «я всегда лгу» не парадокс в строгом смысле этого слова, так как ее отрицанием является не высказывание «я всегда говорю правду», как мы предположили выше, а высказывание «я лгу не всегда» или «иногда я говорю правду». Тем не менее, вложив в уста Эпименида слова «эта фраза ложна», мы получим настоящий парадокс. В самом деле, предположим, что эта фраза истинна — в этом случае она должна выполняться, то есть быть ложной. Но если эта фраза ложна, то она должна быть истинной, так как она относится к себе самой. Если она истинна, то она ложна, если она ложна, то истинна. Это нарушает закон исключенного третьего, согласно которому любая фраза является истинной или ложной, и принцип непротиворечивости, который гласит, что обе эти ситуации не могут происходить одновременно.
* * *
ОСТРОВ РЫЦАРЕЙ И ОРУЖЕНОСЦЕВ
Некий логик попал на остров, все жители которого делились на две группы: рыцари всегда говорили правду, а оруженосцы всегда лгали. Повстречав троих жителей А, В и С, логик спросил А, к рыцарям или оруженосцам он принадлежит, но получил столь путаный ответ, что был вынужден обратиться к в и спросить его: «Что сказал А?». В ответил: «А сказал, что он оруженосец». Однако в этот самый момент в разговор вмешался С, который предупредил логика: «Не верь В, он лжет!»