На основе этих двух утверждений логик может определить, кем же являются B и С. В самом деле, согласно В, житель А сказал «Я оруженосец», что можно считать одной из версий парадокса лжеца: «Я всегда лгу». Следовательно, существует единственный непротиворечивый выход из этой ситуации: когда В говорил об А, он солгал, следовательно, В — оруженосец. Таким образом, когда С предупреждал логика, он говорил правду, из чего следует, что С — рыцарь. Чтобы узнать, кем на самом деле является А, нам потребуется задать дополнительные вопросы.
* * *
В разные эпохи парадокс лжеца трактовался по-разному. Сервантес, например, упоминает его в главе LI второй части «Дон Кихота» — «О том, как Санчо Панса губернаторствовал далее, а равно и о других поистине славных происшествиях» в качестве примера того, сколь трудные решения приходилось принимать Санчо Пансе на острове Баратария. До этого, в главе XVIII, дон Кихот объясняет, что к наукам, которые должен знать странствующий рыцарь, принадлежит математика, «ибо необходимость в математике может возникнуть в любую минуту». Именно это про
исходит с Санчо Пансой, когда ему сообщают о деле хозяина поместья, разделенного рекой, который обязывал всякого, кто хотел переправиться через нее, сначала сообщить, куда он направляется. Если путник говорил правду, ему разрешалось переправиться через реку, но если он лгал, его ждала казнь. После вступления закона в силу судьи беспрепятственно пропускали почти всех, пока в один прекрасный день перед ними не предстал человек, который заявил, что направляется на виселицу, чтобы быть повешенным. Посовещавшись, судьи вынесли вердикт: «Если позволить этому человеку беспрепятственно следовать дальше, то это будет значить, что он нарушил клятву и согласно закону повинен смерти; если же мы его повесим, то ведь он клялся, что пришел только затем, чтобы его вздернули на эту виселицу, следственно, клятва его, выходит, не ложна, и на основании того же самого закона надлежит пропустить его»[2].
В шедевре Мигеля Сервантеса Дон Кихот предлагает разрешить парадокс своему оруженосцу.
В контексте нашего обсуждения этот пример не слишком полезен, так как, увидев, что причин повесить путника столько же, сколько и отпустить его на свободу, Санчо Панса посоветовал отпустить его, поскольку «делать добро всегда правильнее, нежели зло». Здесь интересным будет добавить, что два самых известных парадокса в истории — парадокс Ахиллеса и черепахи и парадокс лжеца — в действительности очень отличаются. С одной стороны, рассуждения Зенона, доказывающие невозможность победы Ахиллеса над черепахой, основаны на ошибочном представлении о бесконечности. Предположив, что изначально фора черепахи равняется одному метру, Зенон указывал, что Ахиллес должен преодолеть расстояние
(1/2) + (1/4) + (1/8) + (1/16) + (1/32) и т. д.
чтобы догнать черепаху. При этом сначала ему нужно преодолеть его половину (1/2), затем — половину половины, то есть одну четверть (1/4), затем — половину половины половины, то есть одну восьмую (1/8) и т. д. Так как число слагаемых бесконечно велико, то расстояние, которое должен преодолеть Ахиллес, обязательно равняется бесконечности, таким образом Ахиллесу не хватит всей жизни, чтобы преодолеть его и догнать черепаху. Ошибка Зенона состояла в том, что сумма бесконечного числового ряда необязательно равна бесконечности, при условии что члены ряда убывают с достаточной быстротой. Николай Орезмский (1323–1382) привел красивое геометрическое решение этого парадокса, в котором показал, что сумма ряда Зенона равна не бесконечности, а в точности единице — именно такую фору Ахиллес дал черепахе. Следовательно, парадокс Зенона есть не более чем ошибочное представление о бесконечных рядах.
Схема, с помощью которой Николай Орезмский в XIV веке показал, что сумма ряда из парадокса об Ахиллесе и черепахе не равна бесконечности.