Наблюдая, как Гильберт в своих очках поднимался на кафедру, зрители спрашивали друг у друга, о чем же он все это время размышлял.
«История учит, что развитие науки протекает непрерывно. Мы знаем, что каждый век имеет свои проблемы, которые последующая эпоха или решает, или отодвигает в сторону как неразрешимые, чтобы заменить их новыми». Гильберт был убежден, что единственным двигателем прогресса в математике является решение задач. Поэтому, обращаясь к собравшимся в зале Сорбонны, лидер Гёттингенской математической школы подчеркивал, что решить задачу означает сформулировать рассуждения, с помощью которых, исходя из конечного числа гипотез, выраженных точными терминами, можно прийти к выводу за конечное число этапов посредством строгих логических правил вывода. Чтобы проиллюстрировать свои идеи, Гильберт выбрал двадцать три задачи, которые, по его мнению, должны были указать направления исследований математикам XX века, однако ему не хватило времени, чтобы прокомментировать все эти задачи. Благодаря свидетельствам его друзей — математиков Германа Минковского (1864–1909) и Адольфа Гурвица (1859–1919) — нам известно, каких трудов стоило Гильберту выбрать задачи, упомянутые в парижском докладе. И однако он ни на секунду не усомнился в своем выборе. Вторая задача из списка звучала, казалось, совершенно невинно: являются ли аксиомы арифметики непротиворечивыми?
* * *
ЗАДАЧА О КАРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ МНОЖЕСТВА
В предыдущей главе вы увидели, что одним из величайших открытий Георга Кантора было доказательство того, что не все бесконечные множества имеют одинаковый размер. И действительно, его диагональный метод позволил показать, что натуральных чисел меньше, чем бесконечных последовательностей, состоящих из нулей и единиц. В первой задаче из списка Гильберта требовалось дать положительный или отрицательный ответ на вопрос о том, существует ли такое множество, кардинальное число которого будет больше, чем кардинальное число множества натуральных чисел, но меньше, чем кардинальное число множества последовательностей из нулей и единиц. Благодаря трудам Курта Гёделя (1940) и математика Пола Коэна из Стэнфордского университета (1963) сегодня нам известно, что если исходить из привычной системы аксиом теории множеств, на этот вопрос нельзя дать ни положительного, ни отрицательного ответа.
* * *
Доклад Гильберта прозвучал 8 августа 1900 года. К этому времени в теории множеств уже появились первые парадоксы, однако Рассел открыл противоречие, которое заставило всех забить тревогу, лишь годом позже. Очень быстро парадокс о множестве всех множеств, которые не принадлежат сами себе, встревожил европейские математические круги: в Англии Уайтхед предсказал конец «счастливым и спокойным будням», в Германии Фреге добавил к своим «Основам арифметики» пессимистичное предисловие, во Франции Анри Пуанкаре, враг математической логики, победно воскликнул: «Формальная логика не бесплодна: она порождает противоречия». Если от кого и ожидали ответа, то это был Давид Гильберт — его многие считали новым Евклидом благодаря опубликованной им в 1899 году системе аксиом геометрии, которая ознаменовала начало современного подхода к этой дисциплине. Тем не менее Гильберт не потрудился дать меткий ответ, который вошел бы в историю, подобно изречениям Уайтхеда, Фреге и Пуанкаре: он просто точно знал, как можно избавить математику от парадоксов.
Давид Гильберт больше всего подходил на роль того, кто покончил бы с математическими парадоксами.
Решение, предложенное Гильбертом, состояло из двух этапов. Сначала нужно было полностью формализовать арифметику, то есть представить все ее содержимое как формальную систему. Это следовало сделать с максимально возможной строгостью, и за этим первым этапом должен был последовать второй, на котором доказывалась бы корректность выполненной формализации. Математика, в отличие от жены Цезаря, не была выше подозрений: ее непротиворечивость следовало доказать. Для этого Гильберт предложил ряд приемов, объединенных названием «метаматематика».
Читатель справедливо заметит: какова разница между системами аксиом, которые мы рассматривали выше, и формальными системами, которые Гильберт хотел определить для арифметики? Действительно, эти понятия очень похожи, однако формальные системы обладают важным отличием: в них любое утверждение представляется в виде символов искусственного языка, лишенных конкретных значений.