. Мы действительно можем добавить к языку символ , однако этого на самом деле не требуется, так как выражение «для всех натуральных чисел выполняется высказывание Р» равносильно выражению «не существует такого натурального числа, для которого не выполнялось бы высказывание Р». Следовательно, символ можно выразить с помощью символов отрицания и существования.
Это же справедливо и для конъюнкции «и»: для ее обозначения существует символ 
, однако он является избыточным, так как его можно заменить символами V и ¬. Чтобы доказать это, рассмотрим три операции теории множеств: дополнение, объединение и пересечение.
Для данного множества А, которое содержится в другом множестве В, дополнением множества А до В называют множество, состоящее из элементов, принадлежащих В, но не А. Например, дополнением множества гласных {а, е, i, о, и} английского алфавита является множество согласных. Рассмотрим операции объединения и пересечения. Для данных множеств X и Y их пересечение X 
Y определяется как множество элементов, одновременно принадлежащих X и Y. Например, если X — множество четных чисел 0, 2, 4, 6, 8, 10…, а Y — множество чисел, кратных трем, 0, 3, 6, 9, 12, 15 …, то чтобы найти их пересечение, нужно определить их общие элементы: ими будут 0, 6, 12, 18…, то есть числа, кратные шести. Объединением множеств X U Y называется множество, которому принадлежат все элементы X и все элементы Y. В предыдущем примере первыми элементами объединения X и Y будут 0, 2, 3, 4, 6, 8, 9…
Похожесть символов, обозначающих пересечение двух множеств () и конъюнкцию двух высказываний (), а также символов, обозначающих объединение двух множеств (U) и дизъюнкцию двух высказываний (V), вовсе не случайна. Если сопоставить свойствам Р и Q множества чисел, обладающих этими свойствами, например X и Y, то числа, обладающие свойствами Р и Q одновременно, будут элементами пересечения множеств X Y, а числа, обладающие свойством Р или Q, то есть как минимум одним из этих двух свойств, будут принадлежать объединению множеств X U Y. Дополнение множества, в свою очередь, соответствует отрицанию высказывания. Для представления дополнений, объединений и пересечений множеств очень удобно использовать диаграммы, созданные британским математиком и философом Джоном Венном в 1880 году. С их помощью можно доказать, что конъюнкция свойств Р и Q равносильна отрицанию дизъюнкции отрицаний Р и Q, иными словами, Р Q = ¬(¬Р V ¬Q). Это свойство позволяет выразить через V и ¬.
Рис. 1. Пересечение двух множеств, соответствующее конъюнкции P Q.
Рис. 2. Объединение двух множеств, соответствующее дизъюнкции Р V Q.
Рис. 3. Дополнение множества, соответствующее отрицанию ¬Р.
Диаграммы Венна, на которых представлены операции пересечения (рис. 1), объединения (рис. 2) и дополнения (рис. 3) множеств.
Сделав замечание о том, как представляются выражение «для всех» и конъюнкция высказываний (логическое «и»), рассмотрим, как переводятся в формальную систему арифметики некоторые аксиомы Пеано. Первая аксиома Пеано звучит так: «Ноль есть натуральное число». Эта аксиома не требует перевода, так как мы включили символ 0 в созданный нами язык. Перейдем ко второй аксиоме: «Каждое натуральное число имеет число, следующее за ним». В этой аксиоме фигурируют две переменные: рассматриваемое натуральное число, которое мы будем обозначать через х, и следующее за ним, которое будем обозначать через у. Вспомним, что число, следующее за данным, записывается с помощью буквы s, которая ставится перед этим числом, и выражается формулой у = sx, то есть «у равно числу, следующему за х». Следующий шаг заключается в том, что высказывание «каждое натуральное число» равносильно высказыванию «для всех натуральных чисел», и в этом контексте слово «имеет» означает «существует». Таким образом, аксиома принимает вид: «Для всякого натурального числа х существует натуральное число у такое, что у = sx». Если бы мы могли использовать символ