, то на этом можно было бы остановиться: аксиома записывалась бы как x
y(y = sx) — скобки мы использовали, чтобы выделить свойство, которым обладают числа х и у. Так как этот символ применить нельзя, нужно выполнить еще одно действие: так как «для всякого натурального числа х существует натуральное число у такое, что у = sx» равносильно «не существует натурального числа х такого, что для него не существует натурального числа у такого, что у = sx», и вторая аксиома Пеано будет записываться так: ¬ху (у = sx). После столь подробных объяснений читатель может самостоятельно убедиться в том, что третья аксиома Пеано, «0 не следует ни за каким натуральным числом», соответствует выражению ¬х (sx = 0).
* * *
ЧЕТВЕРТАЯ АКСИОМА ПЕАНО
Переведем в формальную систему арифметики четвертую аксиому Пеано, которая гласит: «за двумя различными натуральными числами следуют различные натуральные числа». Сначала определим переменные, используемые в высказывании: это два натуральных числа, х и у. Аксиома гласит, что не могут одновременно выполняться два следующих условия: х и у различны, следующие за ними числа совпадают. Иными словами, не существует чисел х и у таких, что:
1) х отличается от у;
2) число, следующее за х, равно числу, следующему за у.
Если бы символ конъюнкции был частью определенного нами языка, то эта аксиома записывалась бы так:
Так как использовать символ конъюнкции нельзя, нужно переписать это выражение, применяя функции отрицания и дизъюнкции. С учетом того, что отрицание отрицания высказывания равносильно исходному высказыванию, четвертая аксиома Пеано примет вид:
* * *
Благодаря описанному выше процессу арифметика была очищена от значений и сведена к формальному каркасу. Теперь ее аксиомы являются исключительно последовательностями абстрактных символов, а доказательства превратились в упражнения по комбинаторике. Однако мы по-прежнему можем сформулировать высказывания со смыслом: например, мы можем сказать «вторая аксиома Пеано длиннее третьей», «квантор существования упоминается во второй аксиоме Пеано два раза» или «формула ¬(0 = 1) является теоремой арифметики». Важно, что здесь речь идет уже не о формализованных высказываниях языка L, а о фразах на русском языке, которые относятся к формулам L. В этих фразах говорится уже не о числах, а о высказываниях о числах, таким образом, они выходят за пределы математики в область метаматематики. Этот переход подобен ситуации, когда один из героев романа начинает писать свой роман. Подобно тому, как литература порой превращается в металитературу, математика может превратиться в метаматематику.
Одним из важнейших открытий Гильберта было проведение четкого различия между уровнями языка, к которым принадлежат различные высказывания. Представьте себе урок английского языка, на котором учитель по-русски объясняет тонкости значения какого-то слова. В этот момент используются два языка: английский, который изучают ученики, и русский, который они используют в качестве инструмента. Это же происходит и с фразой вида «формула ¬х ¬y (y = sx) длиннее, чем формула ¬х (sx = 0)» — в ней сочетаются последовательности символов языка L и выражения «формула» и «длиннее», принадлежащие не к языку L, а к метаязыку, который мы используем, чтобы описать формальную систему, так сказать, извне. Термины «ноль», «следующее» и «равно» принадлежат к языку L, где они записываются как 0, s и = соответственно, однако слова «формула», «доказательство» и «истинный» принадлежат метаязыку и невыразимы на языке L.