Мы предположили, что исходная система непротиворечива… Но какая система?
Внимательный читатель, задавшись этим вопросом и прочитав предыдущий абзац, возможно, подумал, что автор запутался и не совсем четко представляет, о какой системе идет речь. С удовольствием сообщаем, что читатель самостоятельно пришел к важнейшему вопросу, на который до Гёделя никто не мог дать ответ. Наши рассуждения показывают, что утверждение «я недоказуемо» должно быть истинным, однако здесь речь идет не о математическом высказывании, как нам бы того ни хотелось, но о метаматематическом, так как в нем говорится не об объектах изучения какой-либо теории, а о самой теории. Гениальность Геделя заключалась в том, что он перевел некоторые высказывания с метаязыка на язык арифметики благодаря системе кодов, в основе которой лежали простые числа. После этой «гёделизации» метаматематики натуральные числа стали вести двойную жизнь: с одной стороны, они остались неизменными, с другой — стали играть роль формул, что позволило выразить высказывание вида «я недоказуемо», которое априори имело смысл в метаязыке, в виде отношения между числами.
Более подробное описание гёделевской нумерации будет приведено дальше, а пока мы укажем, что с ее помощью в арифметике можно найти утверждение, эквивалентное высказыванию «я недоказуемо». Если бы множество аксиом арифметики S было рекурсивно перечислимым и непротиворечивым, то существовала бы истинная, но недоказуемая формула Gs (мы использовали индекс S, чтобы указать, что эта формула зависит от выбранных нами аксиом и при смене системы аксиом эта формула также изменится). Гёдель поставил всех логиков перед необходимостью сделать выбор либо в пользу полноты, либо в пользу непротиворечивости. И, что было еще хуже, арифметика была не просто неполной — ее полнота была недостижимой. Когда в начале этой книги мы приводили пример с инспектором полиции, который недавно пришел на службу, читатель мог возразить, что его коллеги наверняка узнали бы, женат ли он, продлись разговор немного дольше.
* * *
«ВСЁ, ЧТО НЕ В ВАШЕМ СПИСКЕ»
Рэндел Манро (род. в 1984 году) работал в NASA, пока в 2005 году не обнаружил в себе удивительный талант смешить людей шутками на околонаучные темы. Он начал рисовать комиксы xkcd — «веб-комикс о романтике, сарказме, математике и языке». В его схематичных комиксах часто упоминаются различные понятия физики, математики и информатики. Курт Гёдель становился героем множества историй, однако лучшая из них рассказана в комиксе «Фетиши», приведенном ниже. В нем вы можете видеть трех персонажей, а рисунки поясняет текст:
«Недавно писатель Катарина Гейтс попыталась составить таблицу всех сексуальных фетишей. Она понятия не имела, что ту же задумку уже однажды провалили Рассел и Уайтхед».
Один из героев комикса говорит:
— Привет, Гёдель. Мы тут собираем полный список всех фетишей. Скажи, что тебя возбуждает?
— Всё, что не в вашем списке, — отвечает Гёдель.
* * *
Существуют неполные системы, которые перестают быть таковыми, если добавить к ним несколько аксиом. Однако в случае с арифметикой это не так: Гёдель не только привел недоказуемое утверждение Gs, но и доказал, что не имеет смысла включать его в качестве аксиомы, так как, применив аналогичный метод на множестве Т = S + Gs — множестве аксиом, которое вновь будет непротиворечивым и рекурсивно перечислимым, — мы получим новое истинное, но недоказуемое высказывание GT. Если отрубить гидре с бесконечным числом голов одну, это не спасет нас от неполноты.
Мы обещали объяснить, как можно перевести на язык арифметики неразрешимое высказывание «я недоказуемо», однако вначале скажем несколько слов о второй теореме о неполноте. В главе 1 мы упомянули, что в противоречивой системе аксиом любое высказывание является теоремой. Следовательно, существование хотя бы одной формулы, которая не является теоремой, позволяет доказать, что рассматриваемая теория является непротиворечивой. Если можно найти всего одно недоказуемое высказывание, это автоматически доказывает непротиворечивость системы. Достаточно всего одного! Поэтому зачем рассматривать сложные высказывания, когда достаточно простейшего: 0 = 1? В начале книги мы указали, как теорема «единица отлична от нуля» выводится из аксиом Пеано. Нетрудно убедиться в том, что в любой разумной теории о числах, даже при выборе иных аксиом, ноль будет отличаться от единицы. Таким образом, заявление «арифметика является непротиворечивой» равносильно словам: формула 0 = 1 недоказуема.