И вновь мы столкнулись с высказыванием на метаязыке, однако благодаря «гёделизации» мы можем преобразовать ее в формулу о числах, которую обозначим СоnS (где S — система аксиом). В этой системе обозначений первая теорема о неполноте гласит, что из СоnS следует Gs так как если арифметика является непротиворечивой (иными словами, СоnS истинна), то Gs истинна. Здесь будет уместно напомнить, в чем заключается одно из важнейших правил дедукции, modus ponens, позволяющее выводить из логической формулы «если А, то В» и формулы А формулу В. Предположим на мгновение, что непротиворечивость арифметики можно доказать в рамках самой арифметики. Следовательно, формула СоnS является доказуемой, и, вкупе с доказательством первой теоремы о неполноте СоnS —> Gs согласно modus ponens следует доказательство Gs. Однако этот вывод абсурден, ведь Gs недоказуема! Единственный возможный вывод таков: чтобы доказать непротиворечивость арифметики, нужно выйти за ее пределы — именно об этом говорится во второй теореме о неполноте, которую сам Гедель считал «неожиданным следствием» своих исследований.
Согласно программе Гильберта, для доказательства непротиворечивости математики следовало начать с арифметики. Тем не менее вторая теорема Гёделя указывает, что если доказательство непротиворечивости арифметики существует, то в нем обязательно должны использоваться более сложные методы, чем предложенные формалистами финитные. Читатель наверняка заметил, что название статьи Геделя «О формально неразрешимых предложениях Principia Mathematica и родственных систем I» наводит на мысли о возможном продолжении. И действительно, в этой статье содержались лишь наброски второй теоремы о неполноте. Хотя все указанное в ней было верно, Гедель так и не написал вторую часть статьи, что согласуется с его образом «исследователя, который оставляет работу над деталями остальным», созданным его биографами. На самом деле Гедель объяснил все подробности доказательства Давиду Гильберту и его коллеге Паулю Бернайсу (1888–1977) во время трансатлантического путешествия — они и опубликовали первое полное доказательство второй теоремы о неполноте в 1939 году. О духе тогдашней науки свидетельствует тот факт, что сам Гильберт завершил доказательство теоремы, которая сводила на нет все его труды в течение предыдущих 23 лет.
Однако теоремы о неполноте были приняты совершенно не так, как они того заслуживали. Некоторые математики считали, что неразрешимое высказывание «я недоказуемо» — лишь любопытный частный случай, никак не влияющий на их исследования. Были и те, кто не понимал тонкую разницу между истинным и доказуемым и обвинял Гёделя в том, что он воспроизвел парадокс лжеца. К их числу относился и шестидесятилетний Эрнст Цермело, хотя он как никто другой знал, сколь тяжело бороться за идею: его аксиома выбора в свое время вызвала огромное множество критических отзывов. Словом, математическое сообщество в то время не было готово понять работу, содержавшую принципиально новые методы и касавшуюся области, которая традиционно была уделом меньшинства. Томас Кун совершенно прав, указывая в своей книге «Структура научных революций», что «открытие всегда сопровождается трудностями, встречает сопротивление, утверждается вопреки основным принципам, на которых основано ожидание». К счастью, перевод статьи Гёделя на английский язык и популярное изложение его теорем способствовали тому, что начиная с 70-х годов теоремы о неполноте постепенно обрели статус важнейших открытий в логике со времен Аристотеля.
Курт Гёдель в Институте перспективных исследований в Принстоне, Нью-Джерси.
* * *
ГЁДЕЛЬ И АМЕРИКАНСКОЕ ГРАЖДАНСТВО
Покинув нацистскую Германию, Курт Гёдель в 1940 году был принят на работу в Принстонский университет. Когда семь лет спустя он получил американское гражданство, с ним произошел анекдотичный случай. Как и остальные кандидаты, Гёдель должен был продемонстрировать на экзамене знание американской конституции. И хотя экзамен был лишь формальностью, Гёдель решил серьезно подготовиться к нему, однако во время подготовки обнаружил в Конституции США несколько логических противоречий: