* * *
НЕПОЛНОТА ЗАМОЩЕНИЙ
Замощение плоскости — это покрытие ее «облицовочной плиткой» определенной формы без промежутков и наложений. Исламское искусство содержит прекраснейшие образцы замощений, но они встречаются и в природе: так, пчелиные соты представляют собой оптимальное замощение плоскости шестиугольниками. Оно необязательно должно быть правильным: возможно, существуют другие, непериодические замощения, не обладающие какой-либо симметрией.
В 70-е годы логик Хао Ван (1921–1995) обнаружил, что если вопрос о замощении плоскости является неразрешимым в том же смысле, в каком нельзя ни доказать, ни опровергнуть высказывание «я недоказуемо», то подобные непериодические замощения плоскости существуют. Так как возможность существования подобных замощений показалась ему полностью абсурдной, он сделал вывод: этот вопрос обязательно должен быть разрешимым. Однако несколько лет спустя один из его студентов доказал, что, используя 20426 плиток разной формы, можно получить непериодическое замощение плоскости. Эта величина понемногу уменьшалась, и в итоге было найдено непериодическое замощение плоскости, состоящее всего из двух плиток разной формы.
Слева — правильное замощение плоскости, образованное одинаковыми правильными многоугольниками подобно пчелиным сотам. Справа — пример непериодического замощения.
* * *
Заключительный этап рассуждений, в котором мы доказали, что никакое непротиворечивое и рекурсивно перечислимое множество аксиом арифметики не может быть полным, очень точно воспроизводит сцену, когда ученики возвращаются из школы домой и плачут: «Мама, я никогда не буду логиком!», а остальные — «горсточка счастливцев», о которых писал Шекспир, — улыбаются до ушей. Мы хотим, чтобы читатель этой книги оказался в числе этих немногих. Хотя, возможно, нам не удалось достичь этой цели, и те, кто хочет закричать: «Мама, я никогда не буду логиком!» или отбросить книгу в сторону, поймут, что теоремы, о которых мы только что рассказали, не имеют ничего общего с фразой вида: «После того как Гёдель доказал, что не существует доказательства непротиворечивости арифметики Пеано, которое формулируется в терминах самой арифметики, политологи, наконец, поняли, почему следовало мумифицировать Ленина и выставить его на обозрение в Мавзолее».
Следует признать, что автор этой цитаты, французский эссеист Режи Дебре, известен своим воображением, но отнюдь не невежеством: он родился в 1940 году и изучал философию у Луи Альтюссера в Высшей нормальной школе Парижа. Он находился в тюремном заключении в Боливии, но был освобожден после начала международной кампании в его поддержку, в которой участвовали Жан-Поль Сартр и папа римский Павел VI — трудно найти более непохожих друг на друга людей. В свободное от политики время Дебре начал работу над своим трудом, сегодня насчитывающим около пятидесяти книг, среди которых «Происхождение политики», из которой и взята цитата о Ленине.
Пример Режи Дебре не единственный: другие интеллектуалы, например философы Жиль Делёз и Юлия Кристева, психоаналитик Жак Лакан и архитектурный критик Поль Вирильо, использовали прием, который французский философ Жак Бувресс называл «головокружением аналогий». Они выводят из логического высказывания, носящего сугубо технический характер, некий общий вывод, не имеющий никакого отношения к математике, но псевдонаучный вид которого, несомненно, произведет впечатление на читателя.
Гораций писал, что однажды выпущенное слово улетает безвозвратно. Помимо цитат, приведенных в этой книге, читатель может самостоятельно ознакомиться с оригинальными произведениями Юлии Кристевой, Режи Дебре, Жака Лакана, Жиля Делёза и Поля Вирильо и решить, являются их слова доказательством того, что не следует рассуждать о неизвестном, или, напротив, они как нельзя лучше подтверждают огромную притягательность некоторых теорем, которые — повторим вслед за Джоном фон Нейманом — являются вехой, видимой издалека, во времени и пространстве. Далее мы расскажем только о тех, кто прекрасно понимал, о чем говорит, и на сцену выходит один из величайших гениев в истории — Алан Мэтисон Тьюринг.