Принцип действия машины Тьюринга
(источник: «Complexity» Мелани Митчелл).
Как мы уже упоминали, инструкции нумеруются начиная с 1, используются символы 0 и 1, а допустимыми операциями являются запись 0 (0), запись 1(1), переход на ячейку вправо (R), переход на ячейку влево (L) или останов (N). Таким образом, любую инструкцию можно описать всего четырьмя параметрами. Если первая инструкция звучит так: «Если считан символ 1, сместиться влево и перейти к третьей инструкции», достаточно записать (#1, 1, L, #3). Читатель уже наверняка понял, что для каждой ячейки требуются две инструкции: одна указывает, что нужно делать, если считан символ 0, другая указывает, что нужно делать, если считан символ 1. Если в предыдущем примере третья инструкция указывает только действие, выполняемое в случае, если считан 0, но в действительности считан символ 1, то машина не сможет продолжить работу. Возможное решение этой проблемы может выглядеть так: в случае когда машина Тьюринга не имеет четких инструкций (а сама по себе она не способна «придумать», что делать дальше), она останавливается.
Чтобы сделать объяснение более понятным, укажем явно инструкции для всех возможных случаев. Рассмотрим очень простой пример с машиной Тьюринга Т, для которой заданы следующие три команды.
Инструкция № 1: Если считан 0, записать 1 и перейти к инструкции № 3.
Инструкция № 1: Если считан 1, сместиться вправо и перейти к инструкции № 2.
Инструкция № 2: Если считан 0, записать 1 и перейти к инструкции № 3.
Инструкция № 2: Если считан 1, остановить выполнение.
Инструкция № 3: Если считан 0, записать 1 и перейти к инструкции № 1.
Инструкция № 3: Если считан 1, остановить выполнение.
При кодировании машины Тьюринга согласно описанной системе возникает вопрос: что делать, когда машина останавливается? Ведь в этом случае не указано, какая инструкция должна быть следующей. Простейшим решением будет приписать символ 0: это гарантирует отсутствие ошибок, так как машина Тьюринга попытается найти инструкцию 0, но ни одна из инструкций не обозначена этим числом. Применив этот прием, запишем следующую последовательность инструкций, полностью описывающих работу Т:
Теперь посмотрим, как будет действовать машина, если на ее вход подать ленту, на которой записаны только нули. Стрелка указывает положение считывающей головки машины Тьюринга в каждый момент времени.
Программа начинает выполнение первой инструкции. Так как считан 0, а инструкция гласит «Если считан 0, записать 1 и перейти к инструкции № 3», достаточно заменить 0 на 1 и посмотреть, как звучит третья инструкция.
Инструкция № 3 состоит из двух частей: первая указывает, что если считан 0, то нужно записать 1 и вернуться к инструкции № 1, однако согласно второй части этой инструкции, если считан символ 1, машина Тьюринга должна остановить работу. Так как в этом случае считан именно символ 1, программа прекращает выполнение. Следовательно, если подать на вход машины Тьюринга ленту, заполненную нулями, Т остановится после того, как запишет 1 в исходной точке.
Рассмотрим, что произойдет, если мы снова подадим на вход программы ленту, которую только что получили. Входные значения будут выглядеть так.
Начнем с первой инструкции: так как считан символ 1, нужно сместиться вправо и перейти к инструкции № 2. Никакой загадки нет.
Теперь, согласно инструкции № 2, если считан 0, машина Тьюринга должна заменить его на 1 и перейти к инструкции № 3. Последуем этой инструкции.
И вновь, согласно инструкции № 3, машина Т должна остановиться, если считан 1, следовательно, программа прекратит выполнение, а результатом ее работы будет лента, на которой записаны две единицы посреди бесконечного множества нулей, при этом устройство чтения-записи будет располагаться рядом с единицей, записанной справа. Если мы вновь запустим эту машину Тьюринга, в результате получим ленту, на которой будет записано три единицы, таким образом Т вычисляет не что иное, как значение функции f(n) = n + 1. В общем случае функция является вычислимой, если существует машина Тьюринга, вычисляющая каждое из ее значений.