Допустим, что натуральное число n закодировано, как мы показали в предыдущем примере, путем ввода бумажной ленты, на которой записано n единиц посреди бесконечного множества нулей справа и слева, при этом устройство чтения-записи расположено на ячейке с последней единицей. Функция f будет вычислимой, если существует такая машина Тьюринга, что при вводе произвольного значения n описанным способом ее выходным значением будет f(n). Мы доказали, что функция «прибавить единицу» является вычислимой на машине Тьюринга. Так как для вычисления функции f(n) = n + 2 достаточно выполнить это же множество инструкций два раза, а для вычисления f(n) = n + 3 — трижды, операция сложения является вычислимой. Вычислимой является и операция умножения, поскольку умножить 3 на 3 означает сложить число 3 с самим собой три раза или сложить число 3 с самим собой пять раз. Мы указали, что функция является вычислимой, если существует машина Тьюринга, вычисляющая каждое из ее значений, но это не означает, что мы всегда можем найти такую машину. Рассмотрим, например, функцию, которая принимает в качестве входных и выходных значений только нули и единицы. Следовательно, достаточно определить значение f(0), которое может равняться 0 или 1, и f(1), которое также будет иметь одно из этих значений.
Читателю несложно убедиться, что существует всего четыре функции с подобными свойствами: та, которая всегда возвращает значение 0; та, значение которой всегда равно 1; та, которая при входном значении 0 принимает значение 0, при входном значении 1–1, и та, которая сопоставляет числу 0–1 и наоборот, числу 1–0.
Так как число этих вариантов конечно, все эти функции являются вычислимыми, так как возможно (хотя бы теоретически) описать множество инструкций для вычисления их значения в каждом конкретном случае. Однако описание алгоритма для отображения какого-либо из этих значений может оказаться столь сложным, что мы не сможем в явном виде описать машину Тьюринга, которая вычисляла бы его. Рассмотрим пример, предложенный Артуро Сангалли.
Пусть на множестве чисел от 1 до 9 определена некая функция, которая ставит в соответствие n значение 1, если десятичная запись числа π содержит n последовательных цифр n (например, число 4444 для n = 4), и 0 в противном случае. Согласно этому определению f(1) равно 1, так как десятичная запись π, которая начинается с 3,141592 …, содержит 1 (это первый знак после запятой).
Аналогично f(2) также равно 1, однако чтобы найти первую последовательность цифр 22, нужно просмотреть 135 первых знаков π: …44609550582231725359408.
Следующая таблица была составлена с помощью программы для подобных экспериментов, которая находится на сайте http://www.angio.net/pi/bigpi.cgi.
Из таблицы видно, что наша функция принимает значение 1 для первых восьми натуральных чисел, так как запись числа π содержит последовательности цифр 333, 4444, 55555, 666666, 7777777 и 88888888. Чтобы вычислить значение f(9), можно написать программу, которая будет обходить все знаки π, пока не будет найдена искомая последовательность из девяти девяток подряд. Если такая последовательность в записи π действительно существует, то программа обязательно обнаружит ее, и функция примет значение 1. Время выполнения программы в данном случае не имеет значения, поскольку, как мы неоднократно указывали, речь идет об идеальной машине, не имеющей физических ограничений, свойственных компьютерам. Однако если последовательность из девяти девяток подряд в записи π отсутствует, программа никогда не остановится, и мы не сможем определить значение f(9). Следовательно, мы никогда не сможем узнать, является ли функция f вычислимой, если только не докажем, что в записи числа π присутствует последовательность из девяти девяток подряд. Однако в этом случае программа будет бесполезной, так как из нашего доказательства будет следовать, что f(9) равно 1. Эта функция является вычислимой, хотя на первый взгляд может показаться, что это не так.
* * *