На этом шаге мы выберем аксиому, которая звучит так: «Ноль есть натуральное число» (2). Теперь с помощью modus ponens из двух первых утверждений: «число, следующее за натуральным, тоже является натуральным» и «ноль есть натуральное число» — выведем третье высказывание доказательства: «существует число, следующее за нулем» (3). Для краткости будем называть это число единицей и будем обозначать его 1. На этом шаге можно перезаписать аксиому № 3, заменив ее эквивалентной формулировкой: «если число — ноль, то оно не является следующим ни для какого числа» (4), и применить высказывание (3), которое мы уже доказали выше и которое гласит: «следующее за нулем число есть единица». Использовав modus tollens, получим: «Если число — ноль, оно не является следующим ни для какого числа. Единица — следующее за нулем число, следовательно, единица — это не ноль». Именно так звучит наша теорема: «Единица отлична от нуля» (3).
Теперь, доказав, что ноль и единица — различные числа, мы можем задуматься: образуют ли объекты, удовлетворяющие аксиомам Пеано, бесконечный ряд, иными словами, существует ли бесконечно много натуральных чисел? Мы ведь знаем, что каждое число отличается от всех предыдущих. Именно здесь крайне важна аксиома индукции, которая позволяет доказывать теоремы обо всех натуральных числах, не рассматривая каждое из них конкретно. Чтобы понять, в чем заключается принцип индукции, представьте себе числа как последовательность костяшек домино, из которых мы выбрали несколько и подтолкнули их. Аксиома индукции подтверждает ожидания читателя: если мы подтолкнем первую костяшку в ряду и если при падении каждой костяшки будет падать следующая за ней, то после того как упадет первая костяшка, упадут и все остальные.
После того как мы доказали, что существует натуральное число, отличное от нуля, которое называется единицей, эти же рассуждения можно повторить и показать, что существует еще одно число, отличное от нуля и единицы. И действительно, «число, следующее за натуральным, тоже является натуральным» (1) и «единица есть натуральное число» (2). Применив modus ponens, получим, что «существует число, следующее за единицей» (3). Это число мы назовем двойкой. Согласно аксиоме № 4, «всякое натуральное число следует только за одним натуральным числом» (4). Наша теорема гласит, что «ноль и единица — различные числа» (3), таким образом, вновь применив modus ponens, имеем: «число, следующее за нулем, отличается от числа, следующего за единицей» (6), и этими числами, о которых идет речь, являются единица и двойка. С другой стороны, двойка и ноль — различные числа, так как двойка следует за единицей, а ноль не следует ни за каким натуральным числом.
Если мы повторим эти же рассуждения, заменив единицу на двойку, то докажем, что существует натуральное число, которое мы назовем «три» и которое отличается от всех уже упомянутых, то есть от нуля, единицы и двойки. Повторив эти же рассуждения достаточное число раз, можно доказать, что конкретное число, например 1729, отличается от следующего за ним и от всех предыдущих. Благодаря аксиоме индукции, чтобы доказать утверждение «всякое натуральное число отличается от следующего», достаточно доказать, что единица отличается от нуля (иными словами, что падает первая костяшка домино) и что это же утверждение верно для произвольного конкретного числа и следующего за ним (другими словами, что при падении костяшки домино падает и следующая за ней).
Читатель, дошедший до этих строк, усомнится, обязательно ли прибегать к такому многословию, чтобы убедиться в элементарном, а именно в том, что два натуральных числа различны. И он будет совершенно прав, поскольку ни один отец не станет таким способом объяснять сыну, что две карамельки в кармане не то же самое, что всего одна. Однако логика описывает не рассуждения обычной жизни, а способ, которым нужно рассуждать, чтобы гарантированно прийти к истинному заключению. Мы избавили термины «ноль», «число» и «следующее» от всех интуитивно понятных значений, сведя их к абстрактным понятиям, связанным между собой посредством аксиом и правил вывода.